$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore AD$∥$BC,CD$∥$AB$，

$\therefore \angle D=\angle FAD$，$\angle DCE=\angle F$，

$\because E$是$AD$的中点，

$\therefore DE=AE$，

$\therefore \triangle CDE$≌$\triangle FAE\left(AAS\right)$，

$\therefore CE=EF$，

$\because AE$∥$BC$，

$\therefore \frac{FA}{AB}=\frac{FE}{CE}=1$，

$\therefore AF=AB$；

$(2)$$\because AG=2$，$FG=6$，

$\therefore AF=FG+AG=6+2=8$，

$\therefore AB=AF=8$，

$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore CD=AB=8$，

$\because \angle DCE=\angle F$，$\angle FCG=\angle FCD$，

$\therefore \angle F=\angle FCG$，

$\therefore CG=FG=6$，

$\because CD$∥$AF$，

$\therefore \triangle DCH$∽$\triangle AGH$，

$\therefore \frac{CD}{AG}=\frac{CH}{GH}$，即$\frac{8}{2}=\frac{6-GH}{GH}$，

$\therefore GH=1.2$，

$\therefore CH=GC-GH=4.8$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore AD$∥$BC,CD$∥$AB$，

$\therefore \angle D=\angle FAD$，$\angle DCE=\angle F$，

$\because E$是$AD$的中点，

$\therefore DE=AE$，

$\therefore \triangle CDE$≌$\triangle FAE\left(AAS\right)$，

$\therefore CE=EF$，

$\because AE$∥$BC$，

$\therefore \frac{FA}{AB}=\frac{FE}{CE}=1$，

$\therefore AF=AB$；

$(2)$$\because AG=2$，$FG=6$，

$\therefore AF=FG+AG=6+2=8$，

$\therefore AB=AF=8$，

$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，

$\therefore CD=AB=8$，

$\because \angle DCE=\angle F$，$\angle FCG=\angle FCD$，

$\therefore \angle F=\angle FCG$，

$\therefore CG=FG=6$，

$\because CD$∥$AF$，

$\therefore \triangle DCH$∽$\triangle AGH$，

$\therefore \frac{CD}{AG}=\frac{CH}{GH}$，即$\frac{8}{2}=\frac{6-GH}{GH}$，

$\therefore GH=1.2$，

$\therefore CH=GC-GH=4.8$.