有这样一个问题:
如图$1$,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$\angle ADB=30^{\circ}$,点$E$,$F$在对角线$BD$上,满足$BE \lt BF$,点$M$,$N$分别在线段$AD$,$BC$上,连接$EM$,$FM$,$EN$,$FN$,设$EF=a$,当$a$取何值时,存在$M$、$N$,使得四边形$EMFN$是正方形?
小宇为了解决这个问题,进行了如下探究,请补充完整:
假设符合题意的正方形存在,
$(1)$画出示意图,如图$2$,由于四边形$EMFN$是正方形,那么它一定是平行四边形,由平行四边形的性质______$(填依据)$,可知$EO=OF$,$MO=ON$,结合$ABCD$是矩形,可得$\triangle BON$≌$\triangle DOM$,于是$BO=DO$,因此,四边形$EMFN$的对角线交点恰好是$BD$的中点,如图$3$所示.
$(2)$在图$3$的基础上,由于$EMFN$是正方形,那么它还同时是菱形和矩形.于是由菱形的性质______$(填依据)$,可得$MN\bot EF$于$O$,于是$MN$垂直平分$BD$；又由矩形的性质可得$OM=ON=OE=OF$,这样就能够确定点$E$,$F$,$M$,$N$的位置了.
$(3)$根据$\left(1\right)\left(2\right)$的分析,在图$4$中作出正方形$EMFN(尺规作图,保留作图痕迹)$；
$(4)$结合上述的探索,小宇发现符合题意的正方形$EMFN$是唯一的,此时$a$的值为______；
解决问题后,小宇又有了进一步的思考:
$(5)$若将原问题改为:当$a$取何值时,存在$M$,$N$,使得四边形$EMFN$为矩形?请参照上面的思考,直接写出$a$的最小值.