直线$l$上不存在一点$P$，使$P$，$A$，$B$三点在同一个圆上.理由如下：
$\because$对于直线$y=x-2$，
当$x=0$时，$y=-2$；当$x=-1$时，$y=-3$；
$\therefore A\left(0,-2\right)$，$B\left(-1,-3\right)$都在直线$l$上，
$\because$不在同一直线上的三个点确定一个圆，
$\therefore$直线$l$上不存在一点$P$，使$P$，$A$，$B$三点在同一个圆上.

直线$l$上不存在一点$P$，使$P$，$A$，$B$三点在同一个圆上.理由如下：
$\because$对于直线$y=x-2$，
当$x=0$时，$y=-2$；当$x=-1$时，$y=-3$；
$\therefore A\left(0,-2\right)$，$B\left(-1,-3\right)$都在直线$l$上，
$\because$不在同一直线上的三个点确定一个圆，
$\therefore$直线$l$上不存在一点$P$，使$P$，$A$，$B$三点在同一个圆上.