$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=CB=AD=CD$，$\angle ABC=\angle ADC=\angle BCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA=\angle BAC=\angle DCA=\angle DAC=\angle CBD=\angle CDB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle OBC=\angle OCB=45^{\circ}$，
$\therefore OB=OC$，$\angle BOC=90^{\circ}$，
$\because \angle COE=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BOH=90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BEH=180^{\circ}-45^{\circ}-67.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BOH=\angle BEH$，
$\therefore BO=BE$，
$\because BH\bot OE$于点$H$，
$\therefore \angle BHO=\angle BHE=90^{\circ}$，
在$\triangle OBH$和$\triangle EBH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHO=∠BHE}\\{∠BOH=∠BEH}\\{BO=BE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle OBH$≌$\triangle EBH\left(AAS\right).$
$(2)$证明：如图$1$，作$CG\bot OE$交$OE$的延长线于点$G$，则$\angle G=\angle BHO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle COG=\angle OBH=90^{\circ}-\angle BOH$，
在$\triangle COG$和$\triangle OBH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠BHO}\\{∠COG=∠OBH}\\{CO=OB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle COG$≌$\triangle OBH\left(AAS\right)$，
$\therefore CG=OH$，
$\because FM\bot OE$于点$M$，$OH=FM$，
$\therefore \angle FME=\angle G=90^{\circ}$，$FM=CG$，
在$\triangle FEM$和$\triangle CEG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠G}\\{∠FEM=∠CEG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FEM$≌$\triangle CEG\left(AAS\right)$，
$\therefore FE=CE$.
$(3)$$BH-OH=2FM$，
理由：如图$2$，作$CL\bot OE$交$OE$的延长线于点$L$，则$\angle L=\angle BHE=90^{\circ}$，
$\therefore CL$∥$BH$，
由（2）得$\triangle COL$≌$\triangle OBH$，
$\therefore CL=OH$，
连接并延长$LF$交$BH$于点$I$，连接$FH$，则$\angle FCL=\angle FBI$，
$\because F$是$BC$的中点，
$\therefore CF=BF$，
在$\triangle CFL$和$\triangle BFI$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCL=∠FBI}\\{CF=BF}\\{∠CFL=∠BFI}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CFL$≌$\triangle BFI\left(ASA\right)$，
$\because CL=BI$，$FL=FI$，
$\therefore OH=BI$，$FH=FL=FI=\frac{1}{2}LI$，
$\therefore BH-OH=BH-BI=IH$，$ML=MH$，
$\therefore IH=2FM$，
$\therefore BH-OH=2FM$.

$(1)$证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB=CB=AD=CD$，$\angle ABC=\angle ADC=\angle BCD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCA=\angle BAC=\angle DCA=\angle DAC=\angle CBD=\angle CDB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle OBC=\angle OCB=45^{\circ}$，
$\therefore OB=OC$，$\angle BOC=90^{\circ}$，
$\because \angle COE=22.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BOH=90^{\circ}-22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BEH=180^{\circ}-45^{\circ}-67.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，
$\therefore \angle BOH=\angle BEH$，
$\therefore BO=BE$，
$\because BH\bot OE$于点$H$，
$\therefore \angle BHO=\angle BHE=90^{\circ}$，
在$\triangle OBH$和$\triangle EBH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHO=∠BHE}\\{∠BOH=∠BEH}\\{BO=BE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle OBH$≌$\triangle EBH\left(AAS\right).$
$(2)$证明：如图$1$，作$CG\bot OE$交$OE$的延长线于点$G$，则$\angle G=\angle BHO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle COG=\angle OBH=90^{\circ}-\angle BOH$，
在$\triangle COG$和$\triangle OBH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠BHO}\\{∠COG=∠OBH}\\{CO=OB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle COG$≌$\triangle OBH\left(AAS\right)$，
$\therefore CG=OH$，
$\because FM\bot OE$于点$M$，$OH=FM$，
$\therefore \angle FME=\angle G=90^{\circ}$，$FM=CG$，
在$\triangle FEM$和$\triangle CEG$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠G}\\{∠FEM=∠CEG}\\{FM=CG}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FEM$≌$\triangle CEG\left(AAS\right)$，
$\therefore FE=CE$.
$(3)$$BH-OH=2FM$，
理由：如图$2$，作$CL\bot OE$交$OE$的延长线于点$L$，则$\angle L=\angle BHE=90^{\circ}$，
$\therefore CL$∥$BH$，
由（2）得$\triangle COL$≌$\triangle OBH$，
$\therefore CL=OH$，
连接并延长$LF$交$BH$于点$I$，连接$FH$，则$\angle FCL=\angle FBI$，
$\because F$是$BC$的中点，
$\therefore CF=BF$，
在$\triangle CFL$和$\triangle BFI$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCL=∠FBI}\\{CF=BF}\\{∠CFL=∠BFI}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CFL$≌$\triangle BFI\left(ASA\right)$，
$\because CL=BI$，$FL=FI$，
$\therefore OH=BI$，$FH=FL=FI=\frac{1}{2}LI$，
$\therefore BH-OH=BH-BI=IH$，$ML=MH$，
$\therefore IH=2FM$，
$\therefore BH-OH=2FM$.