在正方形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$E$,$F$是$BC$上的两点,连接$OE$,分别过点$B$,$F$作$OE$的垂线$BH$,$FM$,垂足分别为$H$,$M$.
$(1)$若$\angle COE=22.5^{\circ}$,求证:$\triangle OBH$≌$\triangle EBH$；
$(2)$若$OH=FM$,求证:$FE=CE$；
$(3)$若$F$是$BC$的中点,则线段$BH$,$OH$,$FM$之间存在一定的数量关系,请直接写出来.