在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,射线$AM$∥$BC,$点$D$在射线$AM$上（不与点$A$重合）,连接$BD$,过点$D$作$BD$的垂线交$CA$的延长线于点$P$
$(1)$如图①,若$\angle C=30^{\circ}$,且$AB=DB$,求$\angle APD$的度数；
$(2)$如图②,若$\angle C=45^{\circ}$,当点$D$在射线$AM$上运动时,$PD$与$BD$之间有怎样的数量关系?请写出你的结论,并加以证明；
$(3)$如图③,在（2）的条件下,连接$BP$,设$BP$与射线$AM$的交点为$Q$,$\angle AQP=\alpha$,$\angle APD=\beta$,当点$D$在射线$AM$上运动时,$\alpha$与$\beta$之间有怎样的数量关系?请写出你的结论,并加以证明.