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八年级数学解答题一般
题目
在△ABC\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},射线AMAM∥BC,BC,点DD在射线AMAM上（不与点AA重合）,连接BDBD,过点DD作BDBD的垂线交CACA的延长线于点PP
(1)(1)如图①,若∠C=30∘\angle C=30^{\circ},且AB=DBAB=DB,求∠APD\angle APD的度数；
(2)(2)如图②,若∠C=45∘\angle C=45^{\circ},当点DD在射线AMAM上运动时,PDPD与BDBD之间有怎样的数量关系?请写出你的结论,并加以证明；
(3)(3)如图③,在（2）的条件下,连接BPBP,设BPBP与射线AMAM的交点为QQ,∠AQP=α\angle AQP=\alpha,∠APD=β\angle APD=\beta,当点DD在射线AMAM上运动时,α\alpha与β\beta之间有怎样的数量关系?请写出你的结论,并加以证明.
知识点：四点共圆、三角形综合题章节：第28章 圆 / 28.2 过三点的圆

答案与解析

答案

（1）如图①中，

∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，∠C=30∘\angle C=30^{\circ}，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘\therefore \angle ABC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}，
∵AM\because AM∥BCBC，
∴∠DAB=∠ABC=60∘\therefore \angle DAB=\angle ABC=60^{\circ}，
∵BD=BA\because BD=BA，
∴△ABD\therefore \triangle ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60∘\therefore \angle ABD=60^{\circ}，
∵∠PDB+∠PAB=180∘\because \angle PDB+\angle PAB=180^{\circ}，
∴∠APD+∠ABD=180∘\therefore \angle APD+\angle ABD=180^{\circ}，
∴∠APD=120∘\therefore \angle APD=120^{\circ}.

(2)(2)如图②中，结论：DP=DBDP=DB.
理由：过点DD作DK⊥CPDK\bot CP于点KK，DN⊥ABDN\bot AB于点NN.

∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，∠C=45∘\angle C=45^{\circ}，
∴∠ABC=∠C=45∘\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}，
∵AM\because AM∥BCBC，
∴∠DAK=∠C=45∘\therefore \angle DAK=\angle C=45^{\circ}，∠DAN=∠ABC=45∘\angle DAN=\angle ABC=45^{\circ}，
∴AM\therefore AM平分∠BAP\angle BAP，
∵DK⊥CP\because DK\bot CP于KK，DN⊥ABDN\bot AB于NN，
∴DK=DN\therefore DK=DN，
∵∠APD+∠DPK=180∘\because \angle APD+\angle DPK=180^{\circ}，∠APD+∠DBN=180∘\angle APD+\angle DBN=180^{\circ}，
∴∠DPK=∠DBN\therefore \angle DPK=\angle DBN，
在△DKP\triangle DKP和△DNB\triangle DNB中，
{∠DKP=∠DNB∠DPK=∠DBNDK=DN\left\{\begin{array}{l}{∠DKP=∠DNB}\\{∠DPK=∠DBN}\\{DK=DN}\end{array}\right.，
∴△DKP\therefore \triangle DKP≌△DNB(AAS)\triangle DNB\left(AAS\right)，
∴DP=DB\therefore DP=DB.

(3)(3)结论：α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}.
理由：如图③中，

由（2）可知，∠DAP=∠DAB=45∘\angle DAP=\angle DAB=45^{\circ}，
∵BD⊥DP\because BD\bot DP，
∴∠BDP=90∘\therefore \angle BDP=90^{\circ}
∵DP=DB\because DP=DB，
∴∠DPQ=∠DBP=45∘\therefore \angle DPQ=\angle DBP=45^{\circ}，
∴∠DPQ=∠DAP\therefore \angle DPQ=\angle DAP，
∴∠2+∠DAP+∠DPA=180∘\therefore \angle 2+\angle DAP+\angle DPA=180^{\circ}，∠2+∠DPQ+∠DQP=180∘\angle 2+\angle DPQ+\angle DQP=180^{\circ}，
∴∠DPQ=∠DQP\therefore \angle DPQ=\angle DQP，
∵∠DQP+∠1=180∘\because \angle DQP+\angle 1=180^{\circ}，
即α+β=180\alpha +\beta =180.

解析

（1）如图①中，

∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，∠C=30∘\angle C=30^{\circ}，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘\therefore \angle ABC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}，
∵AM\because AM∥BCBC，
∴∠DAB=∠ABC=60∘\therefore \angle DAB=\angle ABC=60^{\circ}，
∵BD=BA\because BD=BA，
∴△ABD\therefore \triangle ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60∘\therefore \angle ABD=60^{\circ}，
∵∠PDB+∠PAB=180∘\because \angle PDB+\angle PAB=180^{\circ}，
∴∠APD+∠ABD=180∘\therefore \angle APD+\angle ABD=180^{\circ}，
∴∠APD=120∘\therefore \angle APD=120^{\circ}.

(2)(2)如图②中，结论：DP=DBDP=DB.
理由：过点DD作DK⊥CPDK\bot CP于点KK，DN⊥ABDN\bot AB于点NN.

∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，∠C=45∘\angle C=45^{\circ}，
∴∠ABC=∠C=45∘\therefore \angle ABC=\angle C=45^{\circ}，
∵AM\because AM∥BCBC，
∴∠DAK=∠C=45∘\therefore \angle DAK=\angle C=45^{\circ}，∠DAN=∠ABC=45∘\angle DAN=\angle ABC=45^{\circ}，
∴AM\therefore AM平分∠BAP\angle BAP，
∵DK⊥CP\because DK\bot CP于KK，DN⊥ABDN\bot AB于NN，
∴DK=DN\therefore DK=DN，
∵∠APD+∠DPK=180∘\because \angle APD+\angle DPK=180^{\circ}，∠APD+∠DBN=180∘\angle APD+\angle DBN=180^{\circ}，
∴∠DPK=∠DBN\therefore \angle DPK=\angle DBN，
在△DKP\triangle DKP和△DNB\triangle DNB中，
{∠DKP=∠DNB∠DPK=∠DBNDK=DN\left\{\begin{array}{l}{∠DKP=∠DNB}\\{∠DPK=∠DBN}\\{DK=DN}\end{array}\right.，
∴△DKP\therefore \triangle DKP≌△DNB(AAS)\triangle DNB\left(AAS\right)，
∴DP=DB\therefore DP=DB.

(3)(3)结论：α+β=180∘\alpha +\beta =180^{\circ}.
理由：如图③中，

由（2）可知，∠DAP=∠DAB=45∘\angle DAP=\angle DAB=45^{\circ}，
∵BD⊥DP\because BD\bot DP，
∴∠BDP=90∘\therefore \angle BDP=90^{\circ}
∵DP=DB\because DP=DB，
∴∠DPQ=∠DBP=45∘\therefore \angle DPQ=\angle DBP=45^{\circ}，
∴∠DPQ=∠DAP\therefore \angle DPQ=\angle DAP，
∴∠2+∠DAP+∠DPA=180∘\therefore \angle 2+\angle DAP+\angle DPA=180^{\circ}，∠2+∠DPQ+∠DQP=180∘\angle 2+\angle DPQ+\angle DQP=180^{\circ}，
∴∠DPQ=∠DQP\therefore \angle DPQ=\angle DQP，
∵∠DQP+∠1=180∘\because \angle DQP+\angle 1=180^{\circ}，
即α+β=180\alpha +\beta =180.

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