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八年级数学解答题一般
题目
如图,点BB为线段ACAC上任一点,FF为ACAC中点,分别以ABAB,BCBC为边向ACAC同侧作等边三角形ABDABD和等边三角形BCEBCE,点MM,NN分别为ADAD,ECEC的中点,连接FMFM,FNFN.
(1)(1)当BB点在ACAC上运动时,
①求证:FM=FNFM=FN；
②求∠MFN\angle MFN的大小.
(2)(2)若AB=4AB=4,BC=6BC=6,则直接写出FMFM的长.
知识点：三角形的中位线定理、三角形中位线定理的证明、圆内接四边形的性质、四点共圆、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质章节：第28章 圆 / 28.2 过三点的圆

答案与解析

答案

(1)(1)证明：①连接DCDC，AEAE，交于点PP，DCDC交FNFN于点QQ，如图.

∵△ABD\because \triangle ABD与△BCE\triangle BCE均为等边三角形，
∴AB=AD=BD\therefore AB=AD=BD，BC=CE=BEBC=CE=BE，∠ABD=∠EBC=60∘\angle ABD=\angle EBC=60^{\circ}，
∴∠ABE=∠DBC\therefore \angle ABE=\angle DBC，
在△ABE\triangle ABE和△DBC\triangle DBC中，
{AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△DBC(SAS)\triangle DBC\left(SAS\right)，
∴AE=DC\therefore AE=DC，
∵M\because M，NN，FF分别是ADAD，CECE，ACAC的中点，
∴FM\therefore FM∥DCDC，且FM=12DCFM=\frac{1}{2}DC，
FNFN∥AEAE，且FN=12AEFN=\frac{1}{2}AE.
∴FM=FN\therefore FM=FN；
②∵△ABE\because \triangle ABE≌△DBC\triangle DBC，
∴∠AEB=∠DCB\therefore \angle AEB=\angle DCB，
∴∠EPC=∠ABC=60∘\therefore \angle EPC=\angle ABC=60^{\circ}，
∴∠MFN+∠DQF=180∘\therefore \angle MFN+\angle DQF=180^{\circ}，∠EPC=∠DQF\angle EPC=\angle DQF，
∴∠MFN=120∘\therefore \angle MFN=120^{\circ}；
(2)(2)过点MM作MK⊥CAMK\bot CA于点KK，
∵∠DAC=60∘\because \angle DAC=60^{\circ}，AM=12AD=2AM=\frac{1}{2}AD=2，
∴AK=1\therefore AK=1，MK=3MK=\sqrt{3}，
∴KF=5−1=4\therefore KF=5-1=4，
∴MF=MK2+FK2=(3)2+42=19\therefore MF=\sqrt{M{K}^{2}+F{K}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{19}.

解析

(1)(1)证明：①连接DCDC，AEAE，交于点PP，DCDC交FNFN于点QQ，如图.

∵△ABD\because \triangle ABD与△BCE\triangle BCE均为等边三角形，
∴AB=AD=BD\therefore AB=AD=BD，BC=CE=BEBC=CE=BE，∠ABD=∠EBC=60∘\angle ABD=\angle EBC=60^{\circ}，
∴∠ABE=∠DBC\therefore \angle ABE=\angle DBC，
在△ABE\triangle ABE和△DBC\triangle DBC中，
{AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.，
∴△ABE\therefore \triangle ABE≌△DBC(SAS)\triangle DBC\left(SAS\right)，
∴AE=DC\therefore AE=DC，
∵M\because M，NN，FF分别是ADAD，CECE，ACAC的中点，
∴FM\therefore FM∥DCDC，且FM=12DCFM=\frac{1}{2}DC，
FNFN∥AEAE，且FN=12AEFN=\frac{1}{2}AE.
∴FM=FN\therefore FM=FN；
②∵△ABE\because \triangle ABE≌△DBC\triangle DBC，
∴∠AEB=∠DCB\therefore \angle AEB=\angle DCB，
∴∠EPC=∠ABC=60∘\therefore \angle EPC=\angle ABC=60^{\circ}，
∴∠MFN+∠DQF=180∘\therefore \angle MFN+\angle DQF=180^{\circ}，∠EPC=∠DQF\angle EPC=\angle DQF，
∴∠MFN=120∘\therefore \angle MFN=120^{\circ}；
(2)(2)过点MM作MK⊥CAMK\bot CA于点KK，
∵∠DAC=60∘\because \angle DAC=60^{\circ}，AM=12AD=2AM=\frac{1}{2}AD=2，
∴AK=1\therefore AK=1，MK=3MK=\sqrt{3}，
∴KF=5−1=4\therefore KF=5-1=4，
∴MF=MK2+FK2=(3)2+42=19\therefore MF=\sqrt{M{K}^{2}+F{K}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+{4}^{2}}=\sqrt{19}.

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