C

$AB$、卫星的运行周期与地球自转周期相同，则卫星相对于地球位置不变，是静止的，并不是这种卫星在空中是静止不动的，也不是这种卫星的速度很小，故$AB$错误；
$CD$、同步卫星的转动和地球的转动是同步的，地球怎么转动卫星也怎么转动，所以地球转动一周所用的时间是$24$小时，则卫星转动一周所用的时间是$24$小时，而地球绕太阳公转的周期为一年，故$C$正确，$D$错误。
故选：$C$。