$\left(1\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$，
$x-3=0$或$x+1=0$，
所以$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
$(2)2x^{2}+3x-1=0$，
$\because a=2$，$b=3$，$c=-1$，
$\therefore \Delta =3^{2}-4\times 2\times \left(-1\right)=17$，
$\therefore x=\frac{-3±\sqrt{17}}{2×2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
$(3)x^{2}=6x-1$，
$x^{2}-6x=-1$，
$x^{2}-6x+9=-1+9$，
$(x-3)^{2}=8$，
$x-3=\pm 2\sqrt{2}$，
所以$x_{1}=3+2\sqrt{2}$，$x_{2}=3-2\sqrt{2}$；
$(4)\left(x-2\right)^{2}=3\left(x-2\right)$，
$(x-2)^{2}-3\left(x-2\right)=0$，
$(x-2)\left(x-2-3\right)=0$，
$x-2=0$或$x-2-3=0$，
所以$x_{1}=2$，$x_{2}=5$.

$\left(1\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0$，
$x-3=0$或$x+1=0$，
所以$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
$(2)2x^{2}+3x-1=0$，
$\because a=2$，$b=3$，$c=-1$，
$\therefore \Delta =3^{2}-4\times 2\times \left(-1\right)=17$，
$\therefore x=\frac{-3±\sqrt{17}}{2×2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
$(3)x^{2}=6x-1$，
$x^{2}-6x=-1$，
$x^{2}-6x+9=-1+9$，
$(x-3)^{2}=8$，
$x-3=\pm 2\sqrt{2}$，
所以$x_{1}=3+2\sqrt{2}$，$x_{2}=3-2\sqrt{2}$；
$(4)\left(x-2\right)^{2}=3\left(x-2\right)$，
$(x-2)^{2}-3\left(x-2\right)=0$，
$(x-2)\left(x-2-3\right)=0$，
$x-2=0$或$x-2-3=0$，
所以$x_{1}=2$，$x_{2}=5$.