（1）设方程$x^{2}+ax+1=0$和$x^{2}+bx+c=0$有一个相同的实根$x_{1}$；
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}+a{x}_{1}+1=0①}\\{{x}_{1}^{2}+b{x}_{1}+c=0②}\end{array}\right.$，
①$-$②得：$\left(a-b\right)x_{1}+1-c=0$，
$\therefore {x}_{1}=\frac{c-1}{a-b}(a\neq b)$；
$(2)$设方程$x^{2}+x+a=0$和$x^{2}+cx+b=0$也有一个相同的实根为$x_{2}$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}+a=0①}\\{{{x}_{2}}^{2}+c{x}_{2}+b=0②}\end{array}\right.$，
①$-$②得：$\left(1-c\right)x_{2}+a-b=0$，
$\therefore x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$，
$\because$方程$x^{2}+ax+1=0$的一个实数根为${x}_{1}=\frac{c-1}{a-b}(a\neq b)$；设另一个实数根为$\alpha$，
$\therefore \alpha \cdot x_{1}=1$，
$\therefore \alpha =\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{a-b}{c-1}$，
$\therefore \alpha =x_{2}$，
$\therefore x_{2}$是方程$x^{2}+ax+1=0$的实数根；
$x_{2}$是$x^{2}+ax+1=0$和方程$x^{2}+x+a=0$的实数根，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}^{2}+a{x}_{2}+1=0}\\{{x}_{2}^{2}+{x}_{2}+a=0}\end{array}\right.$，
将上述方程组中的两个方程相减得：$\left(a-1\right)x_{2}+1-a=0$，
当$a\neq 1$时，得：$x_{2}=1$，
将$x_{2}=1$代入方程$x^{2}+x+a=0$，得：$1^{2}+1+a=0$，
解得：$a=-2$，
$\because x^{2}+cx+b=0$有一个实数根是$x_{2}$，
$\therefore 1^{2}+c\times 1+b=0$，
$\therefore b+c=-1$，
又$\because a-b+c=3$.
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b+c=-1}\\{-b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$c=2$，$b=-3$.
即：$a=-2$，$b=-3$，$c=2$.

（1）设方程$x^{2}+ax+1=0$和$x^{2}+bx+c=0$有一个相同的实根$x_{1}$；
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}+a{x}_{1}+1=0①}\\{{x}_{1}^{2}+b{x}_{1}+c=0②}\end{array}\right.$，
①$-$②得：$\left(a-b\right)x_{1}+1-c=0$，
$\therefore {x}_{1}=\frac{c-1}{a-b}(a\neq b)$；
$(2)$设方程$x^{2}+x+a=0$和$x^{2}+cx+b=0$也有一个相同的实根为$x_{2}$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{{{x}_{2}}^{2}+{x}_{2}+a=0①}\\{{{x}_{2}}^{2}+c{x}_{2}+b=0②}\end{array}\right.$，
①$-$②得：$\left(1-c\right)x_{2}+a-b=0$，
$\therefore x_{2}=\frac{a-b}{c-1}$，
$\because$方程$x^{2}+ax+1=0$的一个实数根为${x}_{1}=\frac{c-1}{a-b}(a\neq b)$；设另一个实数根为$\alpha$，
$\therefore \alpha \cdot x_{1}=1$，
$\therefore \alpha =\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{a-b}{c-1}$，
$\therefore \alpha =x_{2}$，
$\therefore x_{2}$是方程$x^{2}+ax+1=0$的实数根；
$x_{2}$是$x^{2}+ax+1=0$和方程$x^{2}+x+a=0$的实数根，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}^{2}+a{x}_{2}+1=0}\\{{x}_{2}^{2}+{x}_{2}+a=0}\end{array}\right.$，
将上述方程组中的两个方程相减得：$\left(a-1\right)x_{2}+1-a=0$，
当$a\neq 1$时，得：$x_{2}=1$，
将$x_{2}=1$代入方程$x^{2}+x+a=0$，得：$1^{2}+1+a=0$，
解得：$a=-2$，
$\because x^{2}+cx+b=0$有一个实数根是$x_{2}$，
$\therefore 1^{2}+c\times 1+b=0$，
$\therefore b+c=-1$，
又$\because a-b+c=3$.
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{b+c=-1}\\{-b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$c=2$，$b=-3$.
即：$a=-2$，$b=-3$，$c=2$.