定义:$ax^{2}+bx+c=0$与$cx^{2}+bx+a=0$,其中$ac\neq 0$,$a\neq c$,这样的两个方程称为"互为友好方程",其中一个方程称为另一个方程的友好方程.
$(1)x^{2}-6x+5=0$的友好方程是______；
$(2)$互为友好方程的两个方程如果有相同的根.求出这个公共根；
$(3)$如果$ax^{2}+bx+c=0$的两个根为$x_{1}=m$,$x_{2}=n$.求友好方程的两个根.