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九年级数学填空题一般
题目
定义:ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0与cx2+bx+a=0cx^{2}+bx+a=0,其中ac≠0ac\neq 0,a≠ca\neq c,这样的两个方程称为"互为友好方程",其中一个方程称为另一个方程的友好方程.
(1)x2−6x+5=0(1)x^{2}-6x+5=0的友好方程是______；
(2)(2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根.求出这个公共根；
(3)(3)如果ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0的两个根为x1=mx_{1}=m,x2=nx_{2}=n.求友好方程的两个根.
知识点：一元二次方程的解章节：第21章 一元二次方程 / 21.2 一元二次方程的解法 / 21.2.1 特殊的一元二次方程的解法

答案与解析

答案

（1）根据定义x2−6x+5=0x^{2}-6x+5=0的友好方程是5x2−6x+1=05x^{2}-6x+1=0；
故答案为：5x2−6x+1=05x^{2}-6x+1=0；
(2)(2)设这个公共根为tt，
则at2+bt+c=0at^{2}+bt+c=0，ct2+bt+a=0ct^{2}+bt+a=0，
∴(a−c)t2+c−a=0\therefore \left(a-c\right)t^{2}+c-a=0，
∵a≠c\because a\neq c，
∴t2=1\therefore t^{2}=1，
解得t=1t=1或t=−1t=-1；
∴\therefore这个公共根为11或−1-1；
(3)∵ax2+bx+c=0(3)\because ax^{2}+bx+c=0的两个根为x1=mx_{1}=m，x2=nx_{2}=n，
∴am2+bm+c=0\therefore am^{2}+bm+c=0，an2+bn+c=0an^{2}+bn+c=0，
∵ac≠0\because ac\neq 0，
∴m≠0\therefore m\neq 0，n≠0n\neq 0，
∴a+b⋅1m+c⋅(1m)2=0\therefore a+b\cdot \frac{1}{m}+c\cdot (\frac{1}{m})^{2}=0，a+b⋅1n+c⋅(1n)2=0a+b\cdot \frac{1}{n}+c\cdot (\frac{1}{n})^{2}=0，
即c⋅(1m)2+b⋅1m+a=0c\cdot (\frac{1}{m})^{2}+b\cdot \frac{1}{m}+a=0，c⋅(1n)2+b⋅1n+a=0c\cdot (\frac{1}{n})^{2}+b\cdot \frac{1}{n}+a=0，
∴cx2+bx+a=0\therefore cx^{2}+bx+a=0的两根为1m\frac{1}{m}，1n\frac{1}{n}.

解析

（1）根据定义x2−6x+5=0x^{2}-6x+5=0的友好方程是5x2−6x+1=05x^{2}-6x+1=0；
故答案为：5x2−6x+1=05x^{2}-6x+1=0；
(2)(2)设这个公共根为tt，
则at2+bt+c=0at^{2}+bt+c=0，ct2+bt+a=0ct^{2}+bt+a=0，
∴(a−c)t2+c−a=0\therefore \left(a-c\right)t^{2}+c-a=0，
∵a≠c\because a\neq c，
∴t2=1\therefore t^{2}=1，
解得t=1t=1或t=−1t=-1；
∴\therefore这个公共根为11或−1-1；
(3)∵ax2+bx+c=0(3)\because ax^{2}+bx+c=0的两个根为x1=mx_{1}=m，x2=nx_{2}=n，
∴am2+bm+c=0\therefore am^{2}+bm+c=0，an2+bn+c=0an^{2}+bn+c=0，
∵ac≠0\because ac\neq 0，
∴m≠0\therefore m\neq 0，n≠0n\neq 0，
∴a+b⋅1m+c⋅(1m)2=0\therefore a+b\cdot \frac{1}{m}+c\cdot (\frac{1}{m})^{2}=0，a+b⋅1n+c⋅(1n)2=0a+b\cdot \frac{1}{n}+c\cdot (\frac{1}{n})^{2}=0，
即c⋅(1m)2+b⋅1m+a=0c\cdot (\frac{1}{m})^{2}+b\cdot \frac{1}{m}+a=0，c⋅(1n)2+b⋅1n+a=0c\cdot (\frac{1}{n})^{2}+b\cdot \frac{1}{n}+a=0，
∴cx2+bx+a=0\therefore cx^{2}+bx+a=0的两根为1m\frac{1}{m}，1n\frac{1}{n}.

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