下面是小芸设计的"过圆外一点作已知圆的切线"的尺规作图过程.
已知:$\odot O$及$\odot O$外一点$P$.
求作:$\odot O$的一条切线,使这条切线经过点$P$.
作法:①连接$OP$,作$OP$的垂直平分线$l$,交$OP$于点$A$；
②以$A$为圆心,$AO$为半径作圆,交$\odot O$于点$M$；
③作直线$PM$,则直线$PM$即为$\odot O$的切线.
根据小芸设计的尺规作图过程,
$(1)$使用直尺和圆规,补全图形；(保留作图痕迹）
$(2)$完成下面的证明:
证明:连接$OM$,
由作图可知,$A$为$OP$中点,
$\therefore OP$为$\odot A$直径,
$\therefore \angle OMP=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$,(______$)(填推理的依据)$
即$OM\bot PM$.
又$\because$点$M$在$\odot O$上,
$\therefore PM$是$\odot O$的切线$.(\_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$