九年级数学解答题垂径定理、三角形的外接圆与外心｜试题答案与解析

九年级数学解答题一般

题目

如图,

AD

、

BE

为

\triangle ABC

的中线交于点

O

\angle AOE=60^{\circ}

OD=\frac{3}{2}

OE=\frac{5}{2}

,则

AB=

____.

知识点：垂径定理、三角形的外接圆与外心章节：第28章圆 / 28.2 过三点的圆

答案与解析

答案

如图，过点 $E$ 作 $EF\bot AD$ 于 $F$ ，连接 $DE$ ，

$\because \angle AOE=60^{\circ}$ ，

$\therefore \angle OEF=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$ ，

$\because OE=\dfrac{5}{2}$ ，

$\therefore OF=\dfrac{1}{2}OE=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{4}$ ，

在 $Rt\triangle OEF$ 中， $EF=\sqrt{OE^{2}-OF^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{5}{4}\right)^{2}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$ ，

$\because OD=\dfrac{3}{2}$ ，

$\therefore DF=OD+OF=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}$ ，

在 $Rt\triangle DEF$ 中， $DE=\sqrt{DF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{\left(\dfrac{11}{4}\right)^{2}+\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\right)^{2}}=\dfrac{7}{2}$ ，

$\because AD$ 、 $BE$ 为 $\triangle ABC$ 的中线，

$\therefore DE$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，

$\therefore AB=2DE=2\times \dfrac{7}{2}=7$ .

故答案为： $7$ .