（1）取格点$F$及$AB$的中点$E$，连结$BF$、$CF$，作$EP$∥$x$轴，连结并延长$OF$交$EP$于点$P$，
$\because A\left(0,7\right)$，$B\left(0,3\right)$，
$\therefore E\left(0,5\right)$，$EP$垂直平分$AB$，
$\because$四边形$OBFC$是正方形，
$\therefore OF$垂直平分$BC$，且$OF$为正方形的对角线，
$\therefore$点$P$为$\triangle ABC$的外接圆的圆心，且点$P$为格点，$PE=OE=5$，
$\therefore \triangle ABC$的外接圆的圆心$P$的坐标为$\left(5,5\right)$.
$(2)$作$\triangle ABC$的外接圆$\odot P$，交$x$轴于点$D$，取格点$H$，连结$PH$、$PA$，
$\because \angle AEP=90^{\circ}$，$AE=2$，$PE=5$，
$\therefore PA=\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}{+5}^{2}}=\sqrt{29}$，
$\therefore \triangle ABC$的外接圆半径$r=\sqrt{29}$，
$\because PH\bot CD$，
$\therefore DH=CH=2$，
$\because H\left(5,0\right)$，
$\therefore D\left(7,0\right)$，
$\because \angle EPH=90^{\circ}$，点$B$、点$C$为横纵坐标均为整数的点，
$\therefore \odot P$的四分之一圆上有$2$个横纵坐标均为整数的点，
$\therefore \odot P$上横纵坐标均为整数的点共有$8$个，
$\because A$、$B$、$C$、$D$这$4$个点不属于第一象限的点，
$\therefore$位于圆上在第一象限的横纵坐标均为整数的点有$4$个，
故答案为：$\sqrt{29}$，$4$.
$(3)$连结$AD$、$BD$，则$\angle ADB=\angle ACB$，
由（2）得$D\left(7,0\right)$，
故答案为：$\left(7,0\right)$.

（1）取格点$F$及$AB$的中点$E$，连结$BF$、$CF$，作$EP$∥$x$轴，连结并延长$OF$交$EP$于点$P$，
$\because A\left(0,7\right)$，$B\left(0,3\right)$，
$\therefore E\left(0,5\right)$，$EP$垂直平分$AB$，
$\because$四边形$OBFC$是正方形，
$\therefore OF$垂直平分$BC$，且$OF$为正方形的对角线，
$\therefore$点$P$为$\triangle ABC$的外接圆的圆心，且点$P$为格点，$PE=OE=5$，
$\therefore \triangle ABC$的外接圆的圆心$P$的坐标为$\left(5,5\right)$.
$(2)$作$\triangle ABC$的外接圆$\odot P$，交$x$轴于点$D$，取格点$H$，连结$PH$、$PA$，
$\because \angle AEP=90^{\circ}$，$AE=2$，$PE=5$，
$\therefore PA=\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}{+5}^{2}}=\sqrt{29}$，
$\therefore \triangle ABC$的外接圆半径$r=\sqrt{29}$，
$\because PH\bot CD$，
$\therefore DH=CH=2$，
$\because H\left(5,0\right)$，
$\therefore D\left(7,0\right)$，
$\because \angle EPH=90^{\circ}$，点$B$、点$C$为横纵坐标均为整数的点，
$\therefore \odot P$的四分之一圆上有$2$个横纵坐标均为整数的点，
$\therefore \odot P$上横纵坐标均为整数的点共有$8$个，
$\because A$、$B$、$C$、$D$这$4$个点不属于第一象限的点，
$\therefore$位于圆上在第一象限的横纵坐标均为整数的点有$4$个，
故答案为：$\sqrt{29}$，$4$.
$(3)$连结$AD$、$BD$，则$\angle ADB=\angle ACB$，
由（2）得$D\left(7,0\right)$，
故答案为：$\left(7,0\right)$.