$(1)$证明：由于$x^{2}-\left(k+2\right)x+2k-1=0$是一元二次方程，$\Delta =b^{2}-4ac=\left[-\left(k+2\right)\right]^{2}-4\times 1\times \left(2k-1\right)=k^{2}-4k+8=\left(k-2\right)^{2}+4$，
无论$k$取何实数，总有$\left(k-2\right)^{2}\geqslant 0$，$\left(k-2\right)^{2}+4 \gt 0$，
所以方程总有两个不相等的实数根.
$(2)$把$x=3$代入方程$x^{2}-\left(k+2\right)x+2k-1=0$，有$3^{2}-3\left(k+2\right)+2k-1=0$，
整理，得$2-k=0$.
解得$k=2$，
此时方程可化为$x^{2}-4x+3=0$.
解此方程，得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$.
所以方程的另一根为$x=1$.

$(1)$证明：由于$x^{2}-\left(k+2\right)x+2k-1=0$是一元二次方程，$\Delta =b^{2}-4ac=\left[-\left(k+2\right)\right]^{2}-4\times 1\times \left(2k-1\right)=k^{2}-4k+8=\left(k-2\right)^{2}+4$，
无论$k$取何实数，总有$\left(k-2\right)^{2}\geqslant 0$，$\left(k-2\right)^{2}+4 \gt 0$，
所以方程总有两个不相等的实数根.
$(2)$把$x=3$代入方程$x^{2}-\left(k+2\right)x+2k-1=0$，有$3^{2}-3\left(k+2\right)+2k-1=0$，
整理，得$2-k=0$.
解得$k=2$，
此时方程可化为$x^{2}-4x+3=0$.
解此方程，得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$.
所以方程的另一根为$x=1$.