C

当$3$为腰长时，将$x=3$代入$x^{2}-4x+k=0$，得：$3^{2}-4\times 3+k=0$，
解得：$k=3$，
当$k=3$时，原方程为$x^{2}-4x+3=0$，
解得：$x_{1}=1$，$x_{2}=3$，
$\because 1+3=4$，$4 \gt 3$，
$\therefore k=3$符合题意；
当$3$为底边长时，关于$x$的方程$x^{2}-4x+k=0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta =\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times k=0$，
解得：$k=4$，
当$k=4$时，原方程为$x^{2}-4x+4=0$，
解得：$x_{1}=x_{2}=2$，
$\because 2+2=4$，$4 \gt 3$，
$\therefore k=4$符合题意.
$\therefore k$的值为$3$或$4$.
故选：$C$.