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九年级数学解答题一般
题目
如图⊙O\odot O的半径为1cm1cm,弦ABAB、CDCD的长度分别为2cm\sqrt{2}cm、1cm1cm,则弦ACAC、BDBD所夹的锐角α=______.\alpha =\_\_\_\_\_\_.
知识点：三角形的外角性质、勾股定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系章节：第28章 圆 / 28.3 圆心角和圆周角

答案与解析

答案

连接OAOA、OBOB、OCOC、ODOD，

∵OA=OB=OC=OD=1\because OA=OB=OC=OD=1，AB=2AB=\sqrt{2}，CD=1CD=1，
∴OA2+OB2=AB2\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}，
∴△AOB\therefore \triangle AOB是等腰直角三角形，
△COD\triangle COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45∘\therefore \angle OAB=\angle OBA=45^{\circ}，∠ODC=∠OCD=60∘\angle ODC=\angle OCD=60^{\circ}，
∵∠CDB=∠CAB\because \angle CDB=\angle CAB，∠ODB=∠OBD\angle ODB=\angle OBD，
∴α=180∘−∠CAB−∠OBA−∠OBD=180∘−∠OBA−(∠CDB+∠ODB)=180∘−45∘−60∘=75∘\therefore \alpha =180^{\circ}-\angle CAB-\angle OBA-\angle OBD=180^{\circ}-\angle OBA-\left(\angle CDB+\angle ODB\right)=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}.
故答案为：75∘75^{\circ}.

解析

连接OAOA、OBOB、OCOC、ODOD，

∵OA=OB=OC=OD=1\because OA=OB=OC=OD=1，AB=2AB=\sqrt{2}，CD=1CD=1，
∴OA2+OB2=AB2\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}，
∴△AOB\therefore \triangle AOB是等腰直角三角形，
△COD\triangle COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45∘\therefore \angle OAB=\angle OBA=45^{\circ}，∠ODC=∠OCD=60∘\angle ODC=\angle OCD=60^{\circ}，
∵∠CDB=∠CAB\because \angle CDB=\angle CAB，∠ODB=∠OBD\angle ODB=\angle OBD，
∴α=180∘−∠CAB−∠OBA−∠OBD=180∘−∠OBA−(∠CDB+∠ODB)=180∘−45∘−60∘=75∘\therefore \alpha =180^{\circ}-\angle CAB-\angle OBA-\angle OBD=180^{\circ}-\angle OBA-\left(\angle CDB+\angle ODB\right)=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}.
故答案为：75∘75^{\circ}.

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