综合与探究
【定义】我们把关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$与$cx^{2}+bx+a=0\left(ac\neq 0,a\neq c\right)$称为一对"友好方程".
【示例】如$2x^{2}+7x-3=0$的"友好方程"是$-3x^{2}+7x+2=0$.
$(1)$写出一元二次方程$12x^{2}-7x+1=0$的"友好方程"是______.
【探究】
$(2)$已知一元二次方程$12x^{2}-7x+1=0$的两根为$x_1=\frac{1}{3}$,$x_2=\frac{1}{4}$,请求出它的"友好方程"的两个根.
【猜想】.
$(3)$当$\Delta =b^{2}-4ac\geqslant 0$时,方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根$x_{1}$,$x_{2}$与其"友好方程"$cx^{2}+bx+a=0$的两根$x_{3}$,$x_{4}$之间存在的一种特殊关系为______$.\left(ac\neq 0,a\neq c\right)$
【证明】
$\because$方程$ax^{2}+bx+c=0$的两根为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
方程$cx^{2}+bx+a=0$的两根为$x_3=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2c}$,①______；
$\ldots$
$(4)$请完成上述填空①,并补全证明过程.(备注:证明一组关系即可）
【拓展】
$(5)$已知关于$x$的方程$2024x^{2}+bx-c=0$的两根是$x_{1}=-1$,$x_2=\frac{1}{2024}$,请利用上述结论,直接写出关于$x$的方程$c\left(x-1\right)^{2}-bx+b=2024$的两根.