C

$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{|m+1|}+3x+m^{2}-1=0$的一个根是$0$，
$\therefore$当$x=0$时，$m^{2}-1=0$，
解得$m=\pm 1$，
因为方程$x^{|m+1|}+3x+m^{2}-1=0$为关于$x$的一元二次方程，
所以$|m+1|=2$，
解得：$m=1$或$m=-3$，
$\therefore m=1$.
故选：$C$.