C

由题意，$\because$当$x=-3$和$x=-1$时的函数值均为$p$，
$\therefore$抛物线的对称轴是直线$x=\frac{-3-1}{2}=-2$.
$\therefore$当$x=-4$时的函数值与$x=-2+2=0$时的函数值相等，即当$x=0$时，$y=-3$.
$\therefore$抛物线与$y$轴的交点坐标是$\left(0,-3\right)$.
$\therefore$①②均为正确.
由题意，顶点为$\left(-2,1\right)$，
$\therefore$可设抛物线为$y=a\left(x+2\right)^{2}+1$.
又抛物线过点$\left(-4,-3\right)$，
$\therefore 4a+1=-3$.
$\therefore a=-1$.
$\therefore$抛物线为$y=-\left(x+2\right)^{2}+1$.
又令$y=0$，
$\therefore 0=-\left(x+2\right)^{2}+1$.
$\therefore x=-1$或$x=-3$.
$\therefore$关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0$的根为$-3$和$-1$，故③正确.
又当$x=-2$时，$y$取最大值，
$\therefore$当$y \lt 0$时，$x$的取值范围应该是两部分，故④错误.
故选：$C$.