（1）设二次函数的解析式为$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$.
由题知：$h=-1$，$k=-2$，则$y=a\left(x+1\right)^{2}-2$，
又$\because$二次函数图象过点$(0，-\frac{3}{2})$
$\therefore -\frac{3}{2}=a{(0+1)}^{2}-2$，
$\therefore a=\frac{1}{2}$.
$\therefore y=\frac{1}{2}{(x+1)}^{2}-2=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{3}{2}$；
$(2)$当$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{3}{2}=0$时，
$\therefore x^{2}+2x-3=0$，
$\therefore \left(x-1\right)\left(x+3\right)=0$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-3$；
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$\left(1,0\right)$，$\left(-3,0\right)$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，则抛物线的开口向上，
$\therefore$图象位于$x$轴下方时，自变量$x$的取值范围$-3 \lt x \lt 1$.

（1）设二次函数的解析式为$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$.
由题知：$h=-1$，$k=-2$，则$y=a\left(x+1\right)^{2}-2$，
又$\because$二次函数图象过点$(0，-\frac{3}{2})$
$\therefore -\frac{3}{2}=a{(0+1)}^{2}-2$，
$\therefore a=\frac{1}{2}$.
$\therefore y=\frac{1}{2}{(x+1)}^{2}-2=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{3}{2}$；
$(2)$当$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-\frac{3}{2}=0$时，
$\therefore x^{2}+2x-3=0$，
$\therefore \left(x-1\right)\left(x+3\right)=0$，
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=-3$；
$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$\left(1,0\right)$，$\left(-3,0\right)$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，则抛物线的开口向上，
$\therefore$图象位于$x$轴下方时，自变量$x$的取值范围$-3 \lt x \lt 1$.