聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序$A$和$B$,如图,在程序$A$中$\triangle$处输入一个正整数,则程序自动在$\square$处填补出一个比$\triangle$处大$1$的数字并显示计算结果,同时程序$B$会复制程序$A$中相应位置的数值完成程序$B$的计算并显示计算结果.例:$\triangle$处输入$1$,则程序$A$完成运算$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2}$,程序$B$完成运算$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
探究:若$\triangle$处输入数字$2$,则程序$A$的结果为______,程序$B$的结果为______；若$\triangle$处输入数字$5$,则程序$A$的结果为______,程序$B$的结果为______；若$\triangle$处输入数字$100$,设程序$A$的结果为$a$,则$a$______$\frac{1}{100}-\frac{1}{101}($填"$\gt$""$\lt$"或"$=$").
应用:请利用"探究"中发现的结论证明$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$.