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八年级数学填空题一般
题目
聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序AA和BB,如图,在程序AA中△\triangle处输入一个正整数,则程序自动在□\square处填补出一个比△\triangle处大11的数字并显示计算结果,同时程序BB会复制程序AA中相应位置的数值完成程序BB的计算并显示计算结果.例:△\triangle处输入11,则程序AA完成运算11×2=12\frac{1}{1×2}=\frac{1}{2},程序BB完成运算11−12=12\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
探究:若△\triangle处输入数字22,则程序AA的结果为______,程序BB的结果为______；若△\triangle处输入数字55,则程序AA的结果为______,程序BB的结果为______；若△\triangle处输入数字100100,设程序AA的结果为aa,则aa______1100−1101(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}(填">\gt""<\lt"或"==").
应用:请利用"探究"中发现的结论证明1n(n+1)+1(n+1)(n+2)=2n(n+2)\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}.
知识点：一元二次方程的解章节：第21章 一元二次方程 / 21.2 一元二次方程的解法 / 21.2.1 特殊的一元二次方程的解法

答案与解析

答案

探究：若△\triangle处输入数字22，则程序AA的结果为12×3=16\frac{1}{2×3}=\frac{1}{6}，
程序BB的结果为12−13=36−26=16\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}；
若△\triangle处输入数字55，则程序AA的结果为15×6=130\frac{1}{5×6}=\frac{1}{30}，
程序BB的结果为15−16=630−530=130\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}；
若△\triangle处输入数字100100，设程序AA的结果为aa，
∴a=1100×101\therefore a=\frac{1}{100×101}，
∵1100−1101=101100×101−100101×100=1100×101\because \frac{1}{100}-\frac{1}{101}=\frac{101}{100×101}-\frac{100}{101×100}=\frac{1}{100×101}，
∴a=1100−1101\therefore a=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}；
应用：当若△\triangle处输入数字nn，则程序AA的结果为1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)}，
程序BB的结果为1n−1n+1=n+1n(n+1)−nn(n+1)=1n(n+1)\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}；
∴1n(n+1)=1n−1n+1\therefore \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}，
同理：1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}，
∴\therefore等式的左侧=1n−1n+1+1n+1−1n+2=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}
=1n−1n+2=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}
=n+2n(n+2)−nn(n+2)=\frac{n+2}{n(n+2)}-\frac{n}{n(n+2)}
=2n(n+2)=\frac{2}{n(n+2)}；
等式的右侧为=2n(n+2)=\frac{2}{n(n+2)}，
左侧==右侧，
即：1n(n+1)+1(n+1)(n+2)=2n(n+2)\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}成立.
故答案为：16\frac{1}{6}，16\frac{1}{6}，130\frac{1}{30}，130\frac{1}{30}，==.

解析

探究：若△\triangle处输入数字22，则程序AA的结果为12×3=16\frac{1}{2×3}=\frac{1}{6}，
程序BB的结果为12−13=36−26=16\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}；
若△\triangle处输入数字55，则程序AA的结果为15×6=130\frac{1}{5×6}=\frac{1}{30}，
程序BB的结果为15−16=630−530=130\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6}{30}-\frac{5}{30}=\frac{1}{30}；
若△\triangle处输入数字100100，设程序AA的结果为aa，
∴a=1100×101\therefore a=\frac{1}{100×101}，
∵1100−1101=101100×101−100101×100=1100×101\because \frac{1}{100}-\frac{1}{101}=\frac{101}{100×101}-\frac{100}{101×100}=\frac{1}{100×101}，
∴a=1100−1101\therefore a=\frac{1}{100}-\frac{1}{101}；
应用：当若△\triangle处输入数字nn，则程序AA的结果为1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)}，
程序BB的结果为1n−1n+1=n+1n(n+1)−nn(n+1)=1n(n+1)\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}；
∴1n(n+1)=1n−1n+1\therefore \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}，
同理：1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}，
∴\therefore等式的左侧=1n−1n+1+1n+1−1n+2=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}
=1n−1n+2=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}
=n+2n(n+2)−nn(n+2)=\frac{n+2}{n(n+2)}-\frac{n}{n(n+2)}
=2n(n+2)=\frac{2}{n(n+2)}；
等式的右侧为=2n(n+2)=\frac{2}{n(n+2)}，
左侧==右侧，
即：1n(n+1)+1(n+1)(n+2)=2n(n+2)\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}成立.
故答案为：16\frac{1}{6}，16\frac{1}{6}，130\frac{1}{30}，130\frac{1}{30}，==.

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