观察如图,解答下列问题
$(1)$图中的小圆圈被折线隔开分成六层,第一层有$1$个小圆圈,第二层有$3$个圆圈,第三层有$5$个圆圈,$\ldots$,第六层有$11$个圆圈,如果要你继续画下去,那么第八层有______个小圆圈,第$n$层有______个小圆圈；
$(2)$某一层上有$65$个圆圈,这是第______层；
$(3)$数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法.
比如:前两层的圆圈个数和为$\left(1+3\right)$或$2^{2}$,
由此得,$1+3=2^{2}$.
同样,由前三层的圆圈个数和得:$1+3+5=3^{2}$；
由前四层的圆圈个数和得:$1+3+5+7=4^{2}$；
由前五层的圆圈个数和得:$1+3+5+7+9=5^{2}$；
$\ldots$
根据上述请你写出前$n$层的圆圈个数和的表达式；
$(4)$计算:$1+3+5+7+\ldots +1999$的和；
$(5)$计算:$2001+2003+2005+\ldots +2021$的和.