$(1)$证明：连接$OF$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle OAD=90^{\circ}$，
$\because \odot O$是以$OA$为半径的圆，
$\therefore OF=OA$，
$\because \widehat {AE}=\widehat {EF}$，
$\therefore \angle FOD=\angle AOD$，
在$\triangle FOD$和$\triangle AOD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OA}\\{∠FOD=∠AOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FOD$≌$\triangle AOD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle OFD=\angle OAD=90^{\circ}$，
$\because OF$是$\odot O$的半径，且$DF\bot OF$，
$\therefore DF$与半圆$O$相切.
$(2)$连接$AF$交$OD$于点$L$，则$OD$垂直平分$AF$，
$\because$点$O$是$AB$的中点，且$\odot O$以$OA$为半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的直径，
$\because \angle OAD=90^{\circ}$，$AB=8$，$AD=2\sqrt{6}$，
$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB=4$，
$\therefore DO=\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{6})^{2}}=2\sqrt{10}$，
$\because \angle BFA=\angle OAD=\angle OLA=90^{\circ}$，
$\therefore BF$∥$OD$，
$\therefore \angle FBA=\angle AOD$，
$\therefore \triangle FBA$∽$\triangle AOB$，
$\therefore \frac{BF}{OA}=\frac{AB}{DO}$，
$\therefore BF=\frac{OA•AB}{DO}=\frac{4×8}{2\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
$\therefore BF$的长是$\frac{8\sqrt{10}}{5}$.

$(1)$证明：连接$OF$，
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore \angle OAD=90^{\circ}$，
$\because \odot O$是以$OA$为半径的圆，
$\therefore OF=OA$，
$\because \widehat {AE}=\widehat {EF}$，
$\therefore \angle FOD=\angle AOD$，
在$\triangle FOD$和$\triangle AOD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OA}\\{∠FOD=∠AOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle FOD$≌$\triangle AOD\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle OFD=\angle OAD=90^{\circ}$，
$\because OF$是$\odot O$的半径，且$DF\bot OF$，
$\therefore DF$与半圆$O$相切.
$(2)$连接$AF$交$OD$于点$L$，则$OD$垂直平分$AF$，
$\because$点$O$是$AB$的中点，且$\odot O$以$OA$为半径，
$\therefore AB$是$\odot O$的直径，
$\because \angle OAD=90^{\circ}$，$AB=8$，$AD=2\sqrt{6}$，
$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB=4$，
$\therefore DO=\sqrt{O{A}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{6})^{2}}=2\sqrt{10}$，
$\because \angle BFA=\angle OAD=\angle OLA=90^{\circ}$，
$\therefore BF$∥$OD$，
$\therefore \angle FBA=\angle AOD$，
$\therefore \triangle FBA$∽$\triangle AOB$，
$\therefore \frac{BF}{OA}=\frac{AB}{DO}$，
$\therefore BF=\frac{OA•AB}{DO}=\frac{4×8}{2\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
$\therefore BF$的长是$\frac{8\sqrt{10}}{5}$.