D

由作法得$OP=OA$，$OQ=OB$.
$\because \angle POQ=\angle AOB$，
$\therefore \triangle OPQ$≌$\triangle OAB\left(SAS\right)$，所以$A$选项的结论正确；
$\therefore \angle OPQ=\angle OAB$，
$\therefore PQ$∥$AB$，所以$B$选项的结论正确；
若$\angle APQ=60^{\circ}$，则$\angle PQO=30^{\circ}$，
$\therefore OP=\frac{1}{2}PQ$，
$\because OP=OA$，
$\therefore PA=PQ$，所以$C$选项的结论正确；
$\because \triangle OPQ$≌$\triangle OAB$，
$\therefore OQ=OB$，
$\therefore$只有当$OA=\frac{1}{2}OB$时，$AP=\frac{1}{2}BQ$，所以$D$选项的结论错误.
故选：$D$.

利用作法得$OP=OA$，$OQ=OB$，则可判断$\triangle OPQ$≌$\triangle OAB\left(SAS\right),$于是可对$A$选项进行判断；根据全等三角形的性质得到$\angle OPQ=\angle OAB$，则根据平行线的判定可对$B$选项进行判断；若$\angle APQ=60^{\circ}$，则$\angle PQO=30^{\circ}$，利用含$30$度的直角三角形三边的关系得到$OP=\frac{1}{2}PQ$，则可对$C$选项进行判断；由于$OQ=OB$，所以只有当$OA=\frac{1}{2}OB$时，$AP=\frac{1}{2}BQ$，则可对$D$选项进行判断.

【点评】

本题考查了作图$-$复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.也考查了线段垂直平分线的性质.