$(1)$证明：$a=1$，$b=-m$，$c=2m-4$.
$\because \Delta =b^{2}-4ac=\left(-m\right)^{2}-4\times 1\times \left(2m-4\right)=m^{2}-8m+16=\left(m-4\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$无论$m$取任何实数时，该方程总有两个实数根.
$(2)$$\because x^{2}-mx+2m-4=0$，
即$\left(x-2\right)\left[x-\left(m-2\right)\right]=0$，
解得：$x_{1}=2$，$x_{2}=m-2$.
$\because$该方程的两个根均为正数，
$\therefore m-2 \gt 0$，
$\therefore m \gt 2$，
$\therefore m$可以取的最小整数值为$3$.

$(1)$证明：$a=1$，$b=-m$，$c=2m-4$.
$\because \Delta =b^{2}-4ac=\left(-m\right)^{2}-4\times 1\times \left(2m-4\right)=m^{2}-8m+16=\left(m-4\right)^{2}\geqslant 0$，
$\therefore$无论$m$取任何实数时，该方程总有两个实数根.
$(2)$$\because x^{2}-mx+2m-4=0$，
即$\left(x-2\right)\left[x-\left(m-2\right)\right]=0$，
解得：$x_{1}=2$，$x_{2}=m-2$.
$\because$该方程的两个根均为正数，
$\therefore m-2 \gt 0$，
$\therefore m \gt 2$，
$\therefore m$可以取的最小整数值为$3$.