如图$1$,射线$OP$平分$\angle MON$,在射线$OM$,$ON$上分别截取线段$OA$,$OB$,使$OA=OB$,在射线$OP$上任取一点$D$,连接$AD$,$BD$.易得:$AD=BD$.
$(1)$如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$\angle A=60^{\circ}$,$CD$平分$\angle ACB$,求证:$BC=AC+AD$；
$(2)$如图$3$,在四边形$ABDE$中,$AB=10$,$DE=2$,$C$为$BD$边中点.若$AC$平分$\angle BAE$,$EC$平分$\angle AED$,$\angle ACE=120^{\circ}$,求$AE$的值.