$(1)$证明：在$CB$上截取$CF=CA$，连接$DF$，如图$2$所示：
$\because CD$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle BCD=\angle ACD$，
又$\because CD=CD$，
$\therefore \triangle FCD$≌$\triangle ACD\left(SAS\right)$，
$\therefore DF=AD$，$\angle CFD=\angle A=60^{\circ}$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=30^{\circ}$，
又$\because \angle CFD=\angle FDB+\angle B$，
$\therefore \angle FDB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore \angle FDB=\angle B$，
$\therefore BF=DF$，
$\therefore BF=AD$，
$\because BC=FC+BF$，
$\therefore BC=AC+AD$；
$(2)$在$AE$上截取$AM=AB$，$EN=ED$，连接$CM$、$CN$，则
$\because AC$平分$\angle BAM$，
$\therefore \angle BAC=\angle MAC$，
$\because AB=AM$，$AC=AC$，
$\therefore \triangle BAC$≌$\triangle MAC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BCA=\angle MCA$，$BC=MC$，
同理可得，$\angle NCE=\angle DCE$，$CD=CN$，
$\because$点$C$是$BD$的中点，
$\therefore BC=DC$，
$\therefore CM=CN$，
$\because \angle ACE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB+\angle ECD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACM+\angle ECN=60^{\circ}$，
$\therefore \angle MCN=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MCN$是等边三角形，
$\therefore MN=MC=NC$，$\angle CAM+\angle ACM=\angle CMN=60^{\circ}$，$\angle NCE+\angle CEN=\angle MNC=60^{\circ}$，
$\because \angle ACM+\angle ECN=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CAM=\angle ECN$，$\angle ACM=\angle CEN$，
$\therefore \triangle ACM$∽$\triangle CEN$，
$\therefore \frac{AM}{CN}=\frac{CM}{EN}$，即$\frac{10}{CM}=\frac{CM}{2}$，
$\therefore CM=2\sqrt{5}$，
$\therefore MN=2\sqrt{5}$，
$\therefore AE=AM+MN+NE=10+2\sqrt{5}+2=12+2\sqrt{5}$.

$(1)$证明：在$CB$上截取$CF=CA$，连接$DF$，如图$2$所示：
$\because CD$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle BCD=\angle ACD$，
又$\because CD=CD$，
$\therefore \triangle FCD$≌$\triangle ACD\left(SAS\right)$，
$\therefore DF=AD$，$\angle CFD=\angle A=60^{\circ}$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，
$\therefore \angle B=30^{\circ}$，
又$\because \angle CFD=\angle FDB+\angle B$，
$\therefore \angle FDB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$，
$\therefore \angle FDB=\angle B$，
$\therefore BF=DF$，
$\therefore BF=AD$，
$\because BC=FC+BF$，
$\therefore BC=AC+AD$；
$(2)$在$AE$上截取$AM=AB$，$EN=ED$，连接$CM$、$CN$，则
$\because AC$平分$\angle BAM$，
$\therefore \angle BAC=\angle MAC$，
$\because AB=AM$，$AC=AC$，
$\therefore \triangle BAC$≌$\triangle MAC\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BCA=\angle MCA$，$BC=MC$，
同理可得，$\angle NCE=\angle DCE$，$CD=CN$，
$\because$点$C$是$BD$的中点，
$\therefore BC=DC$，
$\therefore CM=CN$，
$\because \angle ACE=120^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB+\angle ECD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACM+\angle ECN=60^{\circ}$，
$\therefore \angle MCN=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MCN$是等边三角形，
$\therefore MN=MC=NC$，$\angle CAM+\angle ACM=\angle CMN=60^{\circ}$，$\angle NCE+\angle CEN=\angle MNC=60^{\circ}$，
$\because \angle ACM+\angle ECN=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CAM=\angle ECN$，$\angle ACM=\angle CEN$，
$\therefore \triangle ACM$∽$\triangle CEN$，
$\therefore \frac{AM}{CN}=\frac{CM}{EN}$，即$\frac{10}{CM}=\frac{CM}{2}$，
$\therefore CM=2\sqrt{5}$，
$\therefore MN=2\sqrt{5}$，
$\therefore AE=AM+MN+NE=10+2\sqrt{5}+2=12+2\sqrt{5}$.