数学兴趣小组的同学发现:一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的,如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移,这样的一种图形运动,大家讨论后把它称为图形的"翻移运动",这条直线则称为（这次运动的）"翻移线".如图$1$,$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$就是由$\triangle ABC$沿直线$l$翻移后得到的,(先翻折,然后再平移).

$(1)$在学习中,兴趣小组的同学就"翻移运动"对应点（指图$1$中的$A$与$A_{2}$,$B$与$B_{2}\ldots )$连线是否被翻移线平分发生了争议.对此你认为如何?(直接写出你的判断）
$(2)$如图$2$,在长方形$ABCD$中,$BC=8$,点$E$,$F$分别是边$BC$,$AD$中点,点$G$在边$CD$延长线上,联结$AE$,$FG$,如果$\triangle GDF$是$\triangle ABE$经过"翻移运动"得到的三角形.请在图中画出上述"翻移运动"的"翻移线"直线$a$:联结$AG$,线段$AG$和直线$a$交于点$O$,若$\triangle OGF$的面积为$3$,求此长方形的边长$AB$的长.
$(3)$如图$3$,$M$是（2）中的长方形边$BC$上一点,如果$BM=1$,$\triangle ABM$先按（2）的"翻移线"直线$a$翻折,然后再平移$2$个单位,得到$\triangle A_{1}B_{1}M_{1}$,联结线段$AA_{1}$、$MM_{1}$,分别和"翻移线"$a$交于点$K$和点$H$,求四边形$AKHM$的面积.