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九年级数学解答题一般
题目
如图,在正方形的网格中,点AA,BB,CC均在格点上,点PP为线段ABAB与网格线的交点,仅用无刻度的直尺完成以下作图,画图过程用虚线表示.

(1)(1)在图11中,将线段ABAB绕点AA逆时针旋转90∘90^{\circ}得到线段AEAE；在线段AEAE上画点FF,使tan⁡∠ABF=13\tan \angle ABF=\frac{1}{3}；
(2)(2)在图22中,在线段ACAC上画点QQ,连接PQPQ,使得PQPQ∥BCBC；
(3)(3)在图33中,点MM在线段ABAB上,点NN在现段BCBC上,在线段ACAC上画点DD,使得MD+NDMD+ND最小.
知识点：几何变换的类型、勾股定理、勾股定理的逆定理、作图——平移变换、作图——旋转变换章节：第23章 旋转 / 23.3 课题学习 图案设计

答案与解析

答案

（1）如图，线段AEAE即为线段ABAB绕点AA逆时针旋转90∘90^{\circ}得到线段.

由图可知，AG=EK=3AG=EK=3，∠AGB=∠EKA=90∘\angle AGB=\angle EKA=90^{\circ}，GB=KA=4GB=KA=4，
∴Rt△AGB\therefore Rt\triangle AGB≌Rt△EKA(SAS)Rt\triangle EKA\left(SAS\right)，
∴∠GAB=∠KEA\therefore \angle GAB=\angle KEA，AB=AEAB=AE，
∵∠KAE+∠KEA=90∘\because \angle KAE+\angle KEA=90^{\circ}，
∴∠GAB+∠KAE=90∘\therefore \angle GAB+\angle KAE=90^{\circ}，
∴∠BAE=90∘\therefore \angle BAE=90^{\circ}，
∴\therefore线段AEAE即为所求；
∵∠BAF=90∘\because \angle BAF=90^{\circ}，tan⁡∠ABF=13\tan \angle ABF=\frac{1}{3}，
∴AF=35\therefore AF=\frac{3}{5}，
即AFAF即为所求；
(2)(2)如图，连接TXTX交ACAC于点QQ，连接PQPQ，点QQ即为所作；

∵AZ\because AZ∥BYBY，BY=2AZBY=2AZ，
∴APBP=AZBY=12\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AZ}{BY}=\frac{1}{2}，
∵AX\because AX∥CTCT，CT=2AXCT=2AX，
∴AQQC=AXCT=12\therefore \frac{AQ}{QC}=\frac{AX}{CT}=\frac{1}{2}，
∴APBP=AQQC\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AQ}{QC}，
∴PQ\therefore PQ∥BCBC；
(3)(3)如图，连接STST交ACAC于点DD，取格点B\’{B\’}，连接NDND并延长交AB\’AB\’于点M\’{M\’}，

设小正方形的边长为11，
∵AO=CO=4\because AO=CO=4，∠AOC=90∘\angle AOC=90^{\circ}，
∴△AOC\therefore \triangle AOC是等腰直角三角形，∠ACB=45∘\angle ACB=45^{\circ}，
∴∠ACB\’=90∘−∠ACB=45∘\therefore \angle ACB\’=90^{\circ}-\angle ACB=45^{\circ}，
又∵BC=B\’C=7\because BC={B\’}C=7，
∴△BAC\therefore \triangle BAC和△B\’AC\triangle {B\’}AC关于ACAC对称，
∴\therefore点MM和点M\’{M\’}关于ACAC对称，
∴MD=M\’D\therefore MD={M\’}D，MDMD和M\’D{M\’}D关于ACAC对称，
∴DM+DN=DM\’+DN=M\’N\therefore DM+DN=DM\’+DN={M\’}N，
即此时DM+DNDM+DN最小，
∴\therefore点DD即为所作.

解析

（1）如图，线段AEAE即为线段ABAB绕点AA逆时针旋转90∘90^{\circ}得到线段.

由图可知，AG=EK=3AG=EK=3，∠AGB=∠EKA=90∘\angle AGB=\angle EKA=90^{\circ}，GB=KA=4GB=KA=4，
∴Rt△AGB\therefore Rt\triangle AGB≌Rt△EKA(SAS)Rt\triangle EKA\left(SAS\right)，
∴∠GAB=∠KEA\therefore \angle GAB=\angle KEA，AB=AEAB=AE，
∵∠KAE+∠KEA=90∘\because \angle KAE+\angle KEA=90^{\circ}，
∴∠GAB+∠KAE=90∘\therefore \angle GAB+\angle KAE=90^{\circ}，
∴∠BAE=90∘\therefore \angle BAE=90^{\circ}，
∴\therefore线段AEAE即为所求；
∵∠BAF=90∘\because \angle BAF=90^{\circ}，tan⁡∠ABF=13\tan \angle ABF=\frac{1}{3}，
∴AF=35\therefore AF=\frac{3}{5}，
即AFAF即为所求；
(2)(2)如图，连接TXTX交ACAC于点QQ，连接PQPQ，点QQ即为所作；

∵AZ\because AZ∥BYBY，BY=2AZBY=2AZ，
∴APBP=AZBY=12\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AZ}{BY}=\frac{1}{2}，
∵AX\because AX∥CTCT，CT=2AXCT=2AX，
∴AQQC=AXCT=12\therefore \frac{AQ}{QC}=\frac{AX}{CT}=\frac{1}{2}，
∴APBP=AQQC\therefore \frac{AP}{BP}=\frac{AQ}{QC}，
∴PQ\therefore PQ∥BCBC；
(3)(3)如图，连接STST交ACAC于点DD，取格点B\’{B\’}，连接NDND并延长交AB\’AB\’于点M\’{M\’}，

设小正方形的边长为11，
∵AO=CO=4\because AO=CO=4，∠AOC=90∘\angle AOC=90^{\circ}，
∴△AOC\therefore \triangle AOC是等腰直角三角形，∠ACB=45∘\angle ACB=45^{\circ}，
∴∠ACB\’=90∘−∠ACB=45∘\therefore \angle ACB\’=90^{\circ}-\angle ACB=45^{\circ}，
又∵BC=B\’C=7\because BC={B\’}C=7，
∴△BAC\therefore \triangle BAC和△B\’AC\triangle {B\’}AC关于ACAC对称，
∴\therefore点MM和点M\’{M\’}关于ACAC对称，
∴MD=M\’D\therefore MD={M\’}D，MDMD和M\’D{M\’}D关于ACAC对称，
∴DM+DN=DM\’+DN=M\’N\therefore DM+DN=DM\’+DN={M\’}N，
即此时DM+DNDM+DN最小，
∴\therefore点DD即为所作.

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