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九年级数学填空题一般
题目
在△ABC\triangle ABC中,若点OO为BCBC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2AB^{2}+AC^{2}=2AO^{2}+2BO^{2}成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFGDEFG中,已知DE=6DE=6,EF=4EF=4,点MM在以半径为22的⊙D\odot D上运动,则MF2+MG2MF^{2}+MG^{2}的最大值为______.
知识点：勾股定理、矩形的性质、点与圆的位置关系I章节：第24章 圆 / 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 / 24.2.1 点和圆的位置关系

答案与解析

答案

设点OO是GFGF的中点，连接OMOM，ODOD，DMDM.

在矩形DEFGDEFG中，已知DE=6DE=6，EF=4EF=4，
∴∠DGO=90∘\therefore \angle DGO=90^{\circ}，DG=EF=4DG=EF=4，FG=DE=6FG=DE=6，
∵MG2+MF2=2GO2+2OM2\because MG^{2}+MF^{2}=2GO^{2}+2OM^{2}，
∵OG=OF=3\because OG=OF=3，
∴OM\therefore OM的值最大时，MG2+MF2MG^{2}+MF^{2}的值最大，
∵DM=2\because DM=2，OD=DG2+OG2=42+32=5OD=\sqrt{DG^2+OG^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5，
∴OM⩽OD+DM=5+2=7\therefore OM\leqslant OD+DM=5+2=7，
∴OM\therefore OM的最大值为77，
∴MG2+MF2\therefore MG^{2}+MF^{2}的最大值=2×32+2×72=116=2\times 3^{2}+2\times 7^{2}=116.
故答案为：116116.

解析

设点OO是GFGF的中点，连接OMOM，ODOD，DMDM.

在矩形DEFGDEFG中，已知DE=6DE=6，EF=4EF=4，
∴∠DGO=90∘\therefore \angle DGO=90^{\circ}，DG=EF=4DG=EF=4，FG=DE=6FG=DE=6，
∵MG2+MF2=2GO2+2OM2\because MG^{2}+MF^{2}=2GO^{2}+2OM^{2}，
∵OG=OF=3\because OG=OF=3，
∴OM\therefore OM的值最大时，MG2+MF2MG^{2}+MF^{2}的值最大，
∵DM=2\because DM=2，OD=DG2+OG2=42+32=5OD=\sqrt{DG^2+OG^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5，
∴OM⩽OD+DM=5+2=7\therefore OM\leqslant OD+DM=5+2=7，
∴OM\therefore OM的最大值为77，
∴MG2+MF2\therefore MG^{2}+MF^{2}的最大值=2×32+2×72=116=2\times 3^{2}+2\times 7^{2}=116.
故答案为：116116.

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