（1）设这个多边形的边数为$n$，
$(n-2)\times 180^{\circ}=2160^{\circ}-360^{\circ}$，
解得：$n=12$；
$\therefore$对角线的条数为：$\frac{12×(12-3)}{2}=54$；
所以这个多边形的边数是$12$，它的对角线的条数是$54$.
$(2)$因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了$1$条，也可能减少了$1$条，或者不变，
①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为$12+1=13$，
$\therefore$内角和$=\left(13-2\right)\times 180^{\circ}=1980^{\circ}$，
②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为$12$，
内角和$=\left(12-2\right)\times 180^{\circ}=1800^{\circ}$，
③当沿两顶点剪时，多边形边减少$1$边，边数为$12-1=11$，
内角和$=\left(11-2\right)\times 180^{\circ}=1620^{\circ}$，
综上所述：当新多边形有$13$条边时内角和为$1980^{\circ}$，$12$条边时内角和为$1800^{\circ}$，$11$条边时内角和为$1620^{\circ}$.

（1）设这个多边形的边数为$n$，
$(n-2)\times 180^{\circ}=2160^{\circ}-360^{\circ}$，
解得：$n=12$；
$\therefore$对角线的条数为：$\frac{12×(12-3)}{2}=54$；
所以这个多边形的边数是$12$，它的对角线的条数是$54$.
$(2)$因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了$1$条，也可能减少了$1$条，或者不变，
①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为$12+1=13$，
$\therefore$内角和$=\left(13-2\right)\times 180^{\circ}=1980^{\circ}$，
②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为$12$，
内角和$=\left(12-2\right)\times 180^{\circ}=1800^{\circ}$，
③当沿两顶点剪时，多边形边减少$1$边，边数为$12-1=11$，
内角和$=\left(11-2\right)\times 180^{\circ}=1620^{\circ}$，
综上所述：当新多边形有$13$条边时内角和为$1980^{\circ}$，$12$条边时内角和为$1800^{\circ}$，$11$条边时内角和为$1620^{\circ}$.