D

动点$P$在运动过程中，分为以下四个阶段：
①当$0\leqslant x \lt 4$时，点$P$在$AB$上运动，$y$的值为$0$；
②当$4\leqslant x \lt 8$时，点$P$在$BC$上运动，$y=\frac{1}{2}\times 4\left(x-4\right)=2x-8$，$y$随着$x$的增大而增大；
③当$8\leqslant x \lt 12$时，点$P$在$CD$上运动，$y=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8$，$y$不变；
④当$12\leqslant x\leqslant 16$时，点$P$在$DA$上运动，$y=\frac{1}{2}\times 4\left(16-x\right)=-2x+32$，$y$随着$x$的增大而减小；
故选：$D$.