如图,在四边形$ABCD$中$,AB$∥$CD,AB=2CD=6,AD=5,\angle DCB=90^{\circ}$,连接$BD$.点$P$从点$A$出发,以每秒一个单位的速度沿折线$A\rightarrow B\rightarrow D$运动,到达$D$点停止.设点$P$的运动时间为$x$秒$\left(0 \lt x \lt 11\right)$,$\triangle DAP$的面积为$y$.
$(1)$请直接写出$y$与$x$的函数关系式,并注明自变量$x$的取值范围；
$(2)$在给定的平面直角坐标系中画出$y$的函数图象,并写出关于函数$y$的一条性质______；
$(3)$若该函数图象与直线$y=x+k$恰好有一个交点,则常数$k$的取值范围是______.