（1）作$DH\bot AB$于点$H$，
$\because 0 \lt x \lt 11$，则$BD=11-6=5$，
即$\triangle ABD$为等腰三角形，则$BH=CD=3=AH$，
则$DH=\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}=4$，
则$\sin \angle DBA=\frac{4}{5}$，
当点$P$在$AB$上时，
则$y=\frac{1}{2}AP\cdot DH=\frac{1}{2}×x\times 4=2x$；
当点$P$在$BD$上移动时，

则$y=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times 6\times 4-\frac{1}{2}×AB\times PB\sin \angle DBA=12-\frac{1}{2}×6\times \frac{4}{5}\left(x-6\right)=-\frac{12}{5}x+\frac{132}{5}$，
则$y=\left\{\begin{array}{l}{2x(0＜x≤6)}\\{-\frac{12}{5}x+\frac{132}{5}(6＜x＜11)}\end{array}\right.$；
$(2)$当$x=0$时，$y=0$，当$x=6$时，$y=12$，当$x=11$时，$y=0$，
根据上述各点绘制函数图象如下：

从函数图象看，当$0 \lt x\leqslant 6$时，$y$随$x$增大而增大，当$6 \lt x \lt 11$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当$0 \lt x\leqslant 6$时，$y$随$x$增大而增大，当$6 \lt x \lt 11$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一）；
$(3)$当直线$y=x+k$在$m$、$n$、$l$的位置时，属于临界点，

直线$m$：将点$\left(6,12\right)$代入$y=x+k$得：$12=6+k$，则$k=6$；
直线$n:k=0$；
直线$l$：同理可得：$k=-11$，
故$k=6$或$-11 \lt k\leqslant 0$，
故答案为：$k=6$或$-11 \lt k\leqslant 0$.

（1）作$DH\bot AB$于点$H$，
$\because 0 \lt x \lt 11$，则$BD=11-6=5$，
即$\triangle ABD$为等腰三角形，则$BH=CD=3=AH$，
则$DH=\sqrt{B{D}^{2}-B{H}^{2}}=4$，
则$\sin \angle DBA=\frac{4}{5}$，
当点$P$在$AB$上时，
则$y=\frac{1}{2}AP\cdot DH=\frac{1}{2}×x\times 4=2x$；
当点$P$在$BD$上移动时，

则$y=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times 6\times 4-\frac{1}{2}×AB\times PB\sin \angle DBA=12-\frac{1}{2}×6\times \frac{4}{5}\left(x-6\right)=-\frac{12}{5}x+\frac{132}{5}$，
则$y=\left\{\begin{array}{l}{2x(0＜x≤6)}\\{-\frac{12}{5}x+\frac{132}{5}(6＜x＜11)}\end{array}\right.$；
$(2)$当$x=0$时，$y=0$，当$x=6$时，$y=12$，当$x=11$时，$y=0$，
根据上述各点绘制函数图象如下：

从函数图象看，当$0 \lt x\leqslant 6$时，$y$随$x$增大而增大，当$6 \lt x \lt 11$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一），
故答案为：当$0 \lt x\leqslant 6$时，$y$随$x$增大而增大，当$6 \lt x \lt 11$时，$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一）；
$(3)$当直线$y=x+k$在$m$、$n$、$l$的位置时，属于临界点，

直线$m$：将点$\left(6,12\right)$代入$y=x+k$得：$12=6+k$，则$k=6$；
直线$n:k=0$；
直线$l$：同理可得：$k=-11$，
故$k=6$或$-11 \lt k\leqslant 0$，
故答案为：$k=6$或$-11 \lt k\leqslant 0$.