C

在长方形$ABCD$中，$AB=3$，$AD=4$，$AC=5$，
当点$M$在$BC$上运动，即$0\leqslant x\leqslant 4$时，
$y=\frac{1}{2}×x×3=\frac{3}{2}x$，
此时，$y$随$x$的增大而增大；
当点$M$在$CA$上运动，即$4 \lt x\leqslant 9$时，

$\therefore y=\frac{1}{2}\times 3MN=\frac{3}{2}MN$，
此时，$y$随$x$的增大而减小，当$x=9$时，$y=0$；
当点$M$在$AD$上运动，即$9 \lt x\leqslant 13$时，
此时$AM=x-9$，
$\therefore y=\frac{1}{2}×3×(x-9)=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$，
此时，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore A$，$B$，$D$选项不符合题意，$C$选项符合题意，
故选：$C$.