B

$A$、明天太阳从西边升起是不可能事件，不符合题意；
$B$、$a$是实数，则$|a|\geqslant 0$是必然事件，符合题意；
$C$、某运动员跳高的最好成绩是$20.1$米是随机事件，不符合题意；
$D$、班级里有两位同学同年同月同日生是随机事件，不符合题意.
故选：$B$.