D

$A$、用汽油洗去手上的油污，是汽油能溶解油污形成溶液，利用了溶解的原理，故选项错误；
$B$、氢氧化钠能与油污反应生成易溶于水的物质，用氢氧化钠洗去油污，利用了化学反应的原理，故选项错误；
$C$、高锰酸钾易溶于水，用水洗去试管中的高锰酸钾，利用了溶解的原理，故选项错误；
$D$、用洗洁精洗去餐具上的油污，是因为洗洁精对油污有乳化功能，可以把油污以小液滴形式分散到水中，被水冲走，利用了乳化原理，故选项正确；
故选：$D$。