C

$\because$二次函数解析式为$y=2\left(x-1\right)^{2}+m$，且$a=2 \gt 0$，
$\therefore$二次函数的图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，
又$\because$点$A(-2$，$y_{1})$，点$B(4$，$y_{2})$在函数$y=2\left(x-1\right)^{2}+m$的图象上，且$-2+4=2\times 1$，
$\therefore$点$A$，$B$关于直线$x=1$对称，
$\therefore y_{1}=y_{2}$.
故选：$C$.