分别把点$A\left(a,3\right)$、$B\left(b,1\right)$代入双曲线$y=\dfrac{3}{x}$得：$a=1$，$b=3$，

则点$A$的坐标为$\left(1,3\right)$、$B$点坐标为$\left(3,1\right)$，

如图，作$A$点关于$y$轴的对称点$P$，$B$点关于$x$轴的对称点$Q$，

则点$P$坐标为$\left(-1,3\right)$，$Q$点坐标为$\left(3,-1\right)$，

连结$PQ$分别交$x$轴、$y$轴于$C$点、$D$点，此时四边形$ABCD$的周长最小，

四边形$ABCD$周长$=DA+DC+CB+AB$

$=DP+DC+CQ+AB$

$=PQ+AB$

$=\sqrt{\left(-1-3\right)^{2}+\left(3+1\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-3\right)^{2}+\left(3-1\right)^{2}}$

$=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

$=6\sqrt{2}$，

故答案为：$6\sqrt{2}$.

分别把点$A\left(a,3\right)$、$B\left(b,1\right)$代入双曲线$y=\dfrac{3}{x}$得：$a=1$，$b=3$，

则点$A$的坐标为$\left(1,3\right)$、$B$点坐标为$\left(3,1\right)$，

如图，作$A$点关于$y$轴的对称点$P$，$B$点关于$x$轴的对称点$Q$，

则点$P$坐标为$\left(-1,3\right)$，$Q$点坐标为$\left(3,-1\right)$，

连结$PQ$分别交$x$轴、$y$轴于$C$点、$D$点，此时四边形$ABCD$的周长最小，

四边形$ABCD$周长$=DA+DC+CB+AB$

$=DP+DC+CQ+AB$

$=PQ+AB$

$=\sqrt{\left(-1-3\right)^{2}+\left(3+1\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-3\right)^{2}+\left(3-1\right)^{2}}$

$=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

$=6\sqrt{2}$，

故答案为：$6\sqrt{2}$.