C

解：如图，过点$B$作$BH⊥AC$于点$H$，记$AC$与$y$轴的交点为点$E$，则$OE/\!/BH$，

$∵\triangle ABC$是等腰三角形，$AC/\!/x$轴，
$∴AH=CH$，
$∵A$、$B$关于点$O$中心对称，
$∴$点$E$是$AH$的中点，
$∴AH=2AE$，
$∴AC=4AE$，
设$AE=a$，则$CE=3a$，$AC=4a$，
$∴$点$A(-a,-\dfrac{k}{a})$，点$C(3a,-\dfrac{k}{a})$，点$D(3a,\dfrac{k}{3a})$，
$∴CD=-\dfrac{k}{a}-\dfrac{k}{3a}=-\dfrac{4k}{3a}$，
$∵S_{\triangle ACD}=\dfrac{1}{2}AC\cdot CD=24$，
$∴\dfrac{1}{2}\cdot 4a\cdot(-\dfrac{4k}{3a})=24$，
解得：$k=-9$，
故选：$C.$