如图所示：

$\because AB$∥$CD$，
$\therefore \angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$，
$\therefore \triangle OAB$∽$\triangle OCD$，
$\therefore \frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}$，
若$\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}=m$，
由$OB=m\cdot OD$，$OA=m\cdot OC$，
又$\because {S}_{△OAB}=\frac{1}{2}•OA•OB$，${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}•OC•OD$，
$\therefore \frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OCD}}=\frac{\frac{1}{2}OA•OB}{\frac{1}{2}OC•OD}=\frac{OA•OB}{OC•OD}=\frac{{m}^{2}•OC•OD}{OC•OD}={m}^{2}$，
又$\because S_{\triangle OAB}=12$，$S_{\triangle OCD}=27$，
$\therefore m^{2}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$，
解得：$m=\frac{2}{3}$或$m=-\frac{2}{3}($舍去），
设点$A$、$B$的坐标分别为$\left(0,a\right)$，$\left(b,0\right)$，则$\frac{1}{2}\cdot a\cdot \left(-b\right)=12$，即$ab=-24$，
$\because \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(0$，$-\frac{3}{2}a)$，
又$\because$点$E$是线段$BC$的中点，
$\therefore$点$E$的坐标为（$\frac{b}{2}，-\frac{3}{4}a)$，
又$\because$点$E$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，
$\therefore k=\frac{b}{2}•(-\frac{3}{4}a)=-\frac{3}{8}ab=-\frac{3}{8}\times \left(-24\right)=9$；
解法二：$\because S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB$，$S_{\triangle ODC}\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD$，$S_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OB$，$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OD$，
$\therefore S_{\triangle OAB}\times S_{\triangle OCD}=S_{\triangle OBC}\times S_{\triangle OAD}=12\times 27=324$，
又$\because AB$∥$CD$，
$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BCD}($同底等高），
$\therefore S_{\triangle OBC}=S_{\triangle OAD}$，
$\therefore S\triangle OBC=S\triangle OAD=18$，
$\because$双曲线$y=kx$恰好经过$BC$的中点$E$，且点$E$在第三象限，
所以根据$k$的几何意义得到$k=9$.
故答案为：$9$.

如图所示：

$\because AB$∥$CD$，
$\therefore \angle OAB=\angle OCD$，$\angle OBA=\angle ODC$，
$\therefore \triangle OAB$∽$\triangle OCD$，
$\therefore \frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}$，
若$\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}=m$，
由$OB=m\cdot OD$，$OA=m\cdot OC$，
又$\because {S}_{△OAB}=\frac{1}{2}•OA•OB$，${S}_{△OCD}=\frac{1}{2}•OC•OD$，
$\therefore \frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OCD}}=\frac{\frac{1}{2}OA•OB}{\frac{1}{2}OC•OD}=\frac{OA•OB}{OC•OD}=\frac{{m}^{2}•OC•OD}{OC•OD}={m}^{2}$，
又$\because S_{\triangle OAB}=12$，$S_{\triangle OCD}=27$，
$\therefore m^{2}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$，
解得：$m=\frac{2}{3}$或$m=-\frac{2}{3}($舍去），
设点$A$、$B$的坐标分别为$\left(0,a\right)$，$\left(b,0\right)$，则$\frac{1}{2}\cdot a\cdot \left(-b\right)=12$，即$ab=-24$，
$\because \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{2}{3}$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(0$，$-\frac{3}{2}a)$，
又$\because$点$E$是线段$BC$的中点，
$\therefore$点$E$的坐标为（$\frac{b}{2}，-\frac{3}{4}a)$，
又$\because$点$E$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上，
$\therefore k=\frac{b}{2}•(-\frac{3}{4}a)=-\frac{3}{8}ab=-\frac{3}{8}\times \left(-24\right)=9$；
解法二：$\because S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB$，$S_{\triangle ODC}\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OD$，$S_{OBC}=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot OB$，$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OD$，
$\therefore S_{\triangle OAB}\times S_{\triangle OCD}=S_{\triangle OBC}\times S_{\triangle OAD}=12\times 27=324$，
又$\because AB$∥$CD$，
$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle BCD}($同底等高），
$\therefore S_{\triangle OBC}=S_{\triangle OAD}$，
$\therefore S\triangle OBC=S\triangle OAD=18$，
$\because$双曲线$y=kx$恰好经过$BC$的中点$E$，且点$E$在第三象限，
所以根据$k$的几何意义得到$k=9$.
故答案为：$9$.