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九年级数学填空题一般
题目
如图,在平面直角坐标系xOyxOy中,反比例函数y=mx(x>0)y=\frac{m}{x}\left(x \gt 0\right)的图象经过点A(4A(4,32)\frac{3}{2}),点BB在yy轴的负半轴上,ABAB交xx轴于点CC,CC为线段ABAB的中点.
(1)m=(1)m=______,点CC的坐标为______；
(2)(2)若点DD为线段ABAB上的一个动点,过点DD作DEDE∥yy轴,交反比例函数图象于点EE,求△ODE\triangle ODE面积的最大值.
知识点：反比例函数图象上点的坐标、反比例函数系数k的几何意义章节：第18章 正比例函数与反比例函数 / 第2节 反比例函数 / 18.3 反比例函数

答案与解析

答案

(1)∵\left(1\right)\because反比例函数y=mx(x>0)y=\frac{m}{x}\left(x \gt 0\right)的图象经过点A(4A(4，32)\frac{3}{2})，
∴m=4×32=6\therefore m=4×\frac{3}{2}=6，
∵AB\because AB交xx轴于点CC，CC为线段ABAB的中点.
∴C(2,0)\therefore C\left(2,0\right)；
故答案为66，(2,0)\left(2,0\right)；
(2)(2)设直线ABAB的解析式为y=kx+by=kx+b，
把A(4A(4，32),C(2,0)\frac{3}{2}),C\left(2,0\right)代入得{4k+b=322k+b=0\left\{\begin{array}{l}{4k+b=\frac{3}{2}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.，解得{k=34b=−32\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.，
∴\therefore直线ABAB的解析式为y=34x−32y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}；
∵\because点DD为线段ABAB上的一个动点，
∴\therefore设D(xD(x，34x−32)(0<x⩽4)\frac{3}{4}x-\frac{3}{2})\left(0 \lt x\leqslant 4\right)，
∵DE\because DE∥yy轴，
∴E(x\therefore E(x，6x)\frac{6}{x})，
∴S△ODE=12x⋅(6x−34x+32)=−38x2+34x+3=−38(x−1)2+278\therefore S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}x\cdot (\frac{6}{x}-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2})=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+3=-\frac{3}{8}(x-1)^{2}+\frac{27}{8}，
∴\therefore当x=1x=1时，△ODE\triangle ODE的面积的最大值为278\frac{27}{8}.

解析

(1)∵\left(1\right)\because反比例函数y=mx(x>0)y=\frac{m}{x}\left(x \gt 0\right)的图象经过点A(4A(4，32)\frac{3}{2})，
∴m=4×32=6\therefore m=4×\frac{3}{2}=6，
∵AB\because AB交xx轴于点CC，CC为线段ABAB的中点.
∴C(2,0)\therefore C\left(2,0\right)；
故答案为66，(2,0)\left(2,0\right)；
(2)(2)设直线ABAB的解析式为y=kx+by=kx+b，
把A(4A(4，32),C(2,0)\frac{3}{2}),C\left(2,0\right)代入得{4k+b=322k+b=0\left\{\begin{array}{l}{4k+b=\frac{3}{2}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.，解得{k=34b=−32\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.，
∴\therefore直线ABAB的解析式为y=34x−32y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}；
∵\because点DD为线段ABAB上的一个动点，
∴\therefore设D(xD(x，34x−32)(0<x⩽4)\frac{3}{4}x-\frac{3}{2})\left(0 \lt x\leqslant 4\right)，
∵DE\because DE∥yy轴，
∴E(x\therefore E(x，6x)\frac{6}{x})，
∴S△ODE=12x⋅(6x−34x+32)=−38x2+34x+3=−38(x−1)2+278\therefore S_{\triangle ODE}=\frac{1}{2}x\cdot (\frac{6}{x}-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2})=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x+3=-\frac{3}{8}(x-1)^{2}+\frac{27}{8}，
∴\therefore当x=1x=1时，△ODE\triangle ODE的面积的最大值为278\frac{27}{8}.

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