（1）如图，$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上一点的坐标为$\left(1,4\right)$，
$\therefore k=4\times 1=4$；

$(2)\because k=4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为：$y=\frac{4}{x}$，
$\because P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上任意一点，
$PM\bot x$轴，$PN\bot y$轴，
$\therefore$矩形$OMPN$的面积$=|k|=4$，
$\therefore$矩形$OMPN$的面积为定值

（1）如图，$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上一点的坐标为$\left(1,4\right)$，
$\therefore k=4\times 1=4$；

$(2)\because k=4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为：$y=\frac{4}{x}$，
$\because P$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上任意一点，
$PM\bot x$轴，$PN\bot y$轴，
$\therefore$矩形$OMPN$的面积$=|k|=4$，
$\therefore$矩形$OMPN$的面积为定值