过点$P$作$PE\bot y$轴于点$E$，
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB=CD$，
又$\because BD\bot x$轴，
$\therefore ABDO$为矩形，
$\therefore AB=DO$，
$\therefore S_{矩形ABDO}=S_{▱ABCD}=4$，
$\because P$为对角线交点，$PE\bot y$轴，
$\therefore$四边形$PDOE$为矩形面积为$4$，
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过▱$ABCD$对角线的交点$P$，
$\therefore |k|=S_{矩形PDOE}=2$，
$\because$图象在第二象限，
$\therefore k \lt 0$，
$\therefore k=-2$，
故答案为：$-2$.

过点$P$作$PE\bot y$轴于点$E$，
$\because$四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB=CD$，
又$\because BD\bot x$轴，
$\therefore ABDO$为矩形，
$\therefore AB=DO$，
$\therefore S_{矩形ABDO}=S_{▱ABCD}=4$，
$\because P$为对角线交点，$PE\bot y$轴，
$\therefore$四边形$PDOE$为矩形面积为$4$，
$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过▱$ABCD$对角线的交点$P$，
$\therefore |k|=S_{矩形PDOE}=2$，
$\because$图象在第二象限，
$\therefore k \lt 0$，
$\therefore k=-2$，
故答案为：$-2$.