（1）设每盒$A$冰淇淋的进价是$x$元，每盒$B$冰淇淋的进价是$y$元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=86}\\{5x+10y=160}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=10}\end{array}\right.$.
答：每盒$A$冰淇淋的进价是$12$元，每盒$B$冰淇淋的进价是$10$元；
$(2)$设购进$m$盒$A$冰淇淋，则购进$\left(400-m\right)$盒$B$冰淇淋，
根据题意得：$12m+10\left(400-m\right)\leqslant 4600$，
解得：$m\leqslant 300$.
设该超市购进的两种冰淇淋全部售出后获得的总利润为$w$元，则$w=\left(20-12\right)m+\left(16-10\right)\left(400-m\right)$，
即$w=2m+2400$，
$\because 2 \gt 0$，
$\therefore w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=300$时，$w$取得最大值，最大值为$2\times 300+2400=3000$.
答：该超市购进$300$盒$A$冰淇淋获得利润最大，最大利润是$3000$元.

（1）设每盒$A$冰淇淋的进价是$x$元，每盒$B$冰淇淋的进价是$y$元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=86}\\{5x+10y=160}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=10}\end{array}\right.$.
答：每盒$A$冰淇淋的进价是$12$元，每盒$B$冰淇淋的进价是$10$元；
$(2)$设购进$m$盒$A$冰淇淋，则购进$\left(400-m\right)$盒$B$冰淇淋，
根据题意得：$12m+10\left(400-m\right)\leqslant 4600$，
解得：$m\leqslant 300$.
设该超市购进的两种冰淇淋全部售出后获得的总利润为$w$元，则$w=\left(20-12\right)m+\left(16-10\right)\left(400-m\right)$，
即$w=2m+2400$，
$\because 2 \gt 0$，
$\therefore w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=300$时，$w$取得最大值，最大值为$2\times 300+2400=3000$.
答：该超市购进$300$盒$A$冰淇淋获得利润最大，最大利润是$3000$元.