如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$与一次函数$y=-2x+m$的图象交于点$A\left(-1,4\right)$,$BC\bot y$轴于点$D$,分别交反比例函数与一次函数的图象于点$B$,$C$.
$(1)$求反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=-2x+m$的表达式；
$(2)$当$OD=1$时,求线段$BC$的长.
$(3)$直接写出上$\frac{k}{x}≥-2x+m$的解集.