如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=x-n$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A\left(5,2\right)$,$B\left(m,-5\right)$两点,与$x$轴相交于点$C$.
$(1)$求反比例函数和一次函数的解析式；
$(2)$直接写出不等式$x-n＜\frac{k}{x}$的解集；
$(3)$点$P$为反比例函数图象上任意一点,若$S_{\triangle POC}=2S_{\triangle AOC}$,求点$P$的坐标.