$\left(1\right)\because$直线$y=x-4$，当$x=0$时，$y=-4$，当$y=0$时，$x=4$，
$\therefore A$，$B$两点的坐标分别为$\left(4,0\right)$，$\left(0,-4\right)$；
$(2)$连接$BF$，如图：

$\because A$，$B$两点的坐标分别为$\left(4,0\right)$，$\left(0,-4\right)$，
$\therefore OA=OB=4$，
$\because OG\bot AE$，
$\therefore \angle BOF+\angle OEA=90^{\circ}$，
$\because \angle OAE+\angle OEA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOF=\angle OAE$，
$\because OF=AE$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle OBF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle OBF=\angle EOA=90^{\circ}$，$BF=OE$，
$\because$点$E$是线段$OB$的中点，
$\therefore OE=BE=BF=2$，
$\therefore EF=2\sqrt{2}$；
$(3)$存在，
$\because k=-\frac{4}{3},BC$∥$OG,B\left(0,-4\right)$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x-4$，
当$y=0$时，$x=-3$，
$\therefore C\left(-3,0\right)$，
$\therefore OC=3$，$BC=5$，
当$M$在$A$点左侧时，在$OA$上取$OM=OC$，如图：

$\therefore \angle CBO=\angle MBO$，
$\because \angle OBA=\angle OAB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBO+\angle ABM=\angle MBO+\angle ABM=\angle OBA=45^{\circ}$，
$\therefore$此时$M$点即为所求，
$\because OC=3$，
$\therefore OM=3$，
$\therefore M$的坐标为$\left(3,0\right)$；
当$M$在$A$点右侧时，如图：

$\because \angle ABM+\angle CBO=45^{\circ}$，$\angle OBA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM=90^{\circ}$，
设$M\left(x,0\right)$，则$OM=x$，由勾股定理可得，
$BM^{2}=OB^{2}+OM^{2}=MC^{2}-BC^{2}$，
$\therefore 16+x^{2}=\left(x+3\right)^{2}-5^{2}$，
解得$x=\frac{16}{3}$，
此时$M$的坐标为（$\frac{16}{3}$，$0)$，
综上所述，在$x$轴上存在点$M$，使$\angle ABM+\angle CBO=45^{\circ}$，点$M$的坐标为$\left(3,0\right)$或（$\frac{16}{3}$，$0)$.

$\left(1\right)\because$直线$y=x-4$，当$x=0$时，$y=-4$，当$y=0$时，$x=4$，
$\therefore A$，$B$两点的坐标分别为$\left(4,0\right)$，$\left(0,-4\right)$；
$(2)$连接$BF$，如图：

$\because A$，$B$两点的坐标分别为$\left(4,0\right)$，$\left(0,-4\right)$，
$\therefore OA=OB=4$，
$\because OG\bot AE$，
$\therefore \angle BOF+\angle OEA=90^{\circ}$，
$\because \angle OAE+\angle OEA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BOF=\angle OAE$，
$\because OF=AE$，
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle OBF\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle OBF=\angle EOA=90^{\circ}$，$BF=OE$，
$\because$点$E$是线段$OB$的中点，
$\therefore OE=BE=BF=2$，
$\therefore EF=2\sqrt{2}$；
$(3)$存在，
$\because k=-\frac{4}{3},BC$∥$OG,B\left(0,-4\right)$，
$\therefore$直线$BC$的解析式为$y=-\frac{4}{3}x-4$，
当$y=0$时，$x=-3$，
$\therefore C\left(-3,0\right)$，
$\therefore OC=3$，$BC=5$，
当$M$在$A$点左侧时，在$OA$上取$OM=OC$，如图：

$\therefore \angle CBO=\angle MBO$，
$\because \angle OBA=\angle OAB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBO+\angle ABM=\angle MBO+\angle ABM=\angle OBA=45^{\circ}$，
$\therefore$此时$M$点即为所求，
$\because OC=3$，
$\therefore OM=3$，
$\therefore M$的坐标为$\left(3,0\right)$；
当$M$在$A$点右侧时，如图：

$\because \angle ABM+\angle CBO=45^{\circ}$，$\angle OBA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CBM=90^{\circ}$，
设$M\left(x,0\right)$，则$OM=x$，由勾股定理可得，
$BM^{2}=OB^{2}+OM^{2}=MC^{2}-BC^{2}$，
$\therefore 16+x^{2}=\left(x+3\right)^{2}-5^{2}$，
解得$x=\frac{16}{3}$，
此时$M$的坐标为（$\frac{16}{3}$，$0)$，
综上所述，在$x$轴上存在点$M$，使$\angle ABM+\angle CBO=45^{\circ}$，点$M$的坐标为$\left(3,0\right)$或（$\frac{16}{3}$，$0)$.