如图在平面直角坐标系中,$O$为原点,$A$、$B$两点分别在$y$轴,$x$轴的正半轴上,$\triangle AOB$的一条内角平分线、一条外角平分线交于点$P$,$P\left(2,2\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.
$(1)$求$k$；
$(2)$若$OA=OB$,求$\angle p$的度数；
$(3)$如果直线$AB$的关系式为$y=kx+\frac{1}{2}n$且$0 \lt n \lt 4$,作反比例函数$y=-\frac{n}{x}$,过点$\left(0,1\right)$作$x$轴的平行线与$y=\frac{4}{x}$的图象交于点$M$,与$y=-\frac{n}{x}$的图象交于点$N$,过点$N$作$y$轴的平行线与$y=kx+\frac{1}{2}n$的图象交于点$Q$,是否存在$k$的值,使得$MN+QN$的和始终是一个定值$d$,若存在,求出$k$的值及定值$d$；若不存在,请说明理由.