$\left(1\right)\because P\left(2,2\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=2\times 2=4$；
$(2)$过$P$作$PD\bot y$轴于点$D$，如图，

$\because OA=OB$，$\angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OAB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=135^{\circ}$，
$\because AP$和$OP$分别是$\angle BAD$和$\angle AOB$的平分线，
$\therefore \angle PAD=67.5^{\circ}$，$\angle POA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle APO=\angle PAD-\angle POA=22.5^{\circ}$；
$(3)$存在，理由如下：
把$y=1$代入$y=\frac{4}{x}$中，得$x=4$，
$\therefore M\left(4,1\right)$，
把$y=1$代入$y=-\frac{n}{x}$中，得$x=-n$，
$\therefore N\left(-n,1\right)$.
把$x=-n$代入$y=kx+n$中，得$y=-kn+\frac{1}{2}n$，
$\therefore Q(-n$，$-kn+\frac{1}{2}n)$，
当$-kn+\frac{1}{2}n \lt 1$时，
$\therefore MN+QN=\left(4+n\right)+1-(-kn+\frac{1}{2}n)=kn+\frac{1}{2}n+5=(k+\frac{1}{2})n+5$，
当$k=-\frac{1}{2}$时，$MN+QN=5$；
当$-kn+\frac{1}{2}n \gt 1$时，
$\therefore MN+QN=\left(4+n\right)+(-kn+\frac{1}{2}n-1)=-kn+\frac{3}{2}n+3=(-k+\frac{3}{2})n+3$，
当$k=\frac{3}{2}$时，$MN+QN=3$，但$k \lt 0$，不合题意，舍去；
综上所述，当$k=-\frac{1}{2}$时，$MN+QN$的和是定值$d=5$.
$\therefore k=-\frac{1}{2}$，$d=5$.

$(1)$根据$P\left(2,2\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，得出$k$的值；
$(2)$过$P$作$PD\bot y$轴于点$D$，由三角形的外角定理求得$\angle BAD$的度数，再由角平分线求得$\angle PAD$和$\angle POA$的度数，进而由三角形外角定理求得结果；
$(3)$由已知点$P$的坐标，根据已知条件求出$M$、$N$、$Q$的坐标，再求得$MN+NQ$的解析式，根据解析式的特点进行解答便可.

【点评】

本题是反比例综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，第（2）题关键是求出$OA$的长度，第（3）题关键是用$k$、$n$的代数式表示$MN+NQ$.

$\left(1\right)\because P\left(2,2\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=2\times 2=4$；
$(2)$过$P$作$PD\bot y$轴于点$D$，如图，

$\because OA=OB$，$\angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle OAB=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=135^{\circ}$，
$\because AP$和$OP$分别是$\angle BAD$和$\angle AOB$的平分线，
$\therefore \angle PAD=67.5^{\circ}$，$\angle POA=45^{\circ}$，
$\therefore \angle APO=\angle PAD-\angle POA=22.5^{\circ}$；
$(3)$存在，理由如下：
把$y=1$代入$y=\frac{4}{x}$中，得$x=4$，
$\therefore M\left(4,1\right)$，
把$y=1$代入$y=-\frac{n}{x}$中，得$x=-n$，
$\therefore N\left(-n,1\right)$.
把$x=-n$代入$y=kx+n$中，得$y=-kn+\frac{1}{2}n$，
$\therefore Q(-n$，$-kn+\frac{1}{2}n)$，
当$-kn+\frac{1}{2}n \lt 1$时，
$\therefore MN+QN=\left(4+n\right)+1-(-kn+\frac{1}{2}n)=kn+\frac{1}{2}n+5=(k+\frac{1}{2})n+5$，
当$k=-\frac{1}{2}$时，$MN+QN=5$；
当$-kn+\frac{1}{2}n \gt 1$时，
$\therefore MN+QN=\left(4+n\right)+(-kn+\frac{1}{2}n-1)=-kn+\frac{3}{2}n+3=(-k+\frac{3}{2})n+3$，
当$k=\frac{3}{2}$时，$MN+QN=3$，但$k \lt 0$，不合题意，舍去；
综上所述，当$k=-\frac{1}{2}$时，$MN+QN$的和是定值$d=5$.
$\therefore k=-\frac{1}{2}$，$d=5$.

$(1)$根据$P\left(2,2\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，得出$k$的值；
$(2)$过$P$作$PD\bot y$轴于点$D$，由三角形的外角定理求得$\angle BAD$的度数，再由角平分线求得$\angle PAD$和$\angle POA$的度数，进而由三角形外角定理求得结果；
$(3)$由已知点$P$的坐标，根据已知条件求出$M$、$N$、$Q$的坐标，再求得$MN+NQ$的解析式，根据解析式的特点进行解答便可.

【点评】

本题是反比例综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，第（2）题关键是求出$OA$的长度，第（3）题关键是用$k$、$n$的代数式表示$MN+NQ$.