已知在平面直角坐标系$xOy$中,点$A\left(m,n\right)$在第一象限内,$AB\bot OA$,且$AB=OA$,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A$.
$(1)$当点$B$的坐标为$\left(4,0\right)$时（如图$1)$,求这个反比例函数的解析式；
$(2)$当点$B$也在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,且在点$A$的右侧时（如图$2)$,用$m$,$n$的代数式表示点$B$的坐标,并求$\frac{m}{n}$的值.