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八年级数学填空题一般
题目
"通过等价变换,化陌生为熟悉,化未知为已知"是数学学习中解决问题的基本思维方法,如:解方程x−x=0x-\sqrt{x}=0,就可以利用该思维方式,设x=y\sqrt{x}=y,将原方程转化为:y2−y=0y^{2}-y=0这个熟悉的关于yy的一元二次方程,解出yy,再求xx,这种方法又叫"换元法",请你用这种思维方式和换元法解方程:x2+4x+4x2+4x−5=0x^{2}+4x+4\sqrt{{x}^{2}+4x}-5=0.方程的解为______.
知识点：解一元二次方程——因式分解法、解一元二次方程——换元法、无理方程（二）章节：第22章 一元二次方程 / 22.3 实践与探索

答案与解析

答案

x2+4x+4x2+4x−5=0x^{2}+4x+4\sqrt{{x}^{2}+4x}-5=0，
设x2+4x=y\sqrt{{x}^{2}+4x}=y，则原方程化为：
y2+4y−5=0y^{2}+4y-5=0，
(y+5)(y−1)=0(y+5)\left(y-1\right)=0，
解得：y1=−5y_{1}=-5，y2=1y_{2}=1，
当y=−5y=-5时，x2+4x=−5\sqrt{{x}^{2}+4x}=-5，
∵\because算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当y=1y=1时，x2+4x=1\sqrt{{x}^{2}+4x}=1，
方程两边平方，得x2+4x=1x^{2}+4x=1，
解得：x1=−2+5x_{1}=-2+\sqrt{5}，x2=−2−5x_{2}=-2-\sqrt{5}，
经检验x1=−2+5x_{1}=-2+\sqrt{5}，x2=−2−5x_{2}=-2-\sqrt{5}都是原方程的解.
故答案为：x1=−2+5x_{1}=-2+\sqrt{5}，x2=−2−5x_{2}=-2-\sqrt{5}.

解析

x2+4x+4x2+4x−5=0x^{2}+4x+4\sqrt{{x}^{2}+4x}-5=0，
设x2+4x=y\sqrt{{x}^{2}+4x}=y，则原方程化为：
y2+4y−5=0y^{2}+4y-5=0，
(y+5)(y−1)=0(y+5)\left(y-1\right)=0，
解得：y1=−5y_{1}=-5，y2=1y_{2}=1，
当y=−5y=-5时，x2+4x=−5\sqrt{{x}^{2}+4x}=-5，
∵\because算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当y=1y=1时，x2+4x=1\sqrt{{x}^{2}+4x}=1，
方程两边平方，得x2+4x=1x^{2}+4x=1，
解得：x1=−2+5x_{1}=-2+\sqrt{5}，x2=−2−5x_{2}=-2-\sqrt{5}，
经检验x1=−2+5x_{1}=-2+\sqrt{5}，x2=−2−5x_{2}=-2-\sqrt{5}都是原方程的解.
故答案为：x1=−2+5x_{1}=-2+\sqrt{5}，x2=−2−5x_{2}=-2-\sqrt{5}.

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