$\left(1\right)\because$点$A$在$x$轴负半轴上，点$B$、$C$分别在$x$轴、$y$轴正半轴上，$OB=2OA$，$OB-OC=OC-OA=2$.

设$A\left(x,0\right)$，

$\therefore OA=-x$，$OB=-2x$，$OC=-2x-2$，

$\therefore B\left(-2x,0\right)$，$C\left(0,-2x-2\right)$，

$\because OC-OA=2$，

$\therefore -2x-2-\left(-x\right)=2$，

解得：$x=-4$，

$\therefore OA=4$，$OB=8$，$OC=6$，点$A$的坐标为$\left(-4,0\right)$，点$B$的坐标为$\left(8,0\right)$，点$C$的坐标为$\left(0,6\right)$；

（2）由（1）知：$AB=OA+OB=12$，

$\because$点$P$从点$A$出发以每秒$1$个单位的速度沿$AB$向点$B$匀速运动，同时点$Q$从点$B$出发以每秒$3$个单位的速度沿$BA$向终点$A$匀速运动，

$\therefore$点$P$运动的时间为$t\left(t \gt 0\right)$秒时，$AP=t$，$BQ=3t$，

当$P$、$Q$两点相遇时的$t$的值为：$12\div \left(1+3\right)=3$秒，

$\because$当点$Q$到达终点$A$时，点$P$、$Q$均停止运动，

$\therefore t$的最大值为$12\div 3=4$秒

①当$0 \lt t\leqslant 3$时，如图$1$，

$PQ=AB-AP-QB=12-t-3t=12-4t$，

即$y=12-4t\left(0 \lt t\leqslant 3\right)$；

②当$3 \lt t\leqslant 4$时，如图$2$，

$PQ=AP+BQ-AB=4t-12$，

即$y=4t-12\left(3 \lt t\leqslant 4\right)$；

（3）存在$t$值使点$O$为$PQ$中点，

$\because$点$O$为$PQ$中点，

$\therefore 0 \lt t\leqslant 3$，$OP=OQ$，即$OA-AP=OB-BQ$，

$\therefore 4-t=8-3t$，

解得：$t=2$，

当$t=2$时，$AP=2$，$OP=2$，$OQ=2$，$PQ=4$，$PM=PQ=4$，

①点$M$在$x$轴上方时，如图$3$，

过点$C$作$CN\bot PM$，得：四边形$CNPQ$是梯形，

$\because S_{\triangle }CMQ=S_{梯形CNPQ}-S_{\triangle CNM}-S_{\triangle PQM}$，

$\therefore S_{\triangle }CMQ=\dfrac{1}{2}\left(CN+PQ\right)\times PN-\dfrac{1}{2}CN\cdot MN-\dfrac{1}{2}\cdot PM\cdot PQ$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(OP+PQ\right)\times OC-\dfrac{1}{2}\times OP\times \left(OC-PM\right)-\dfrac{1}{2}\times 4\times 4$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(2+4\right)\times 6-\dfrac{1}{2}\times 2\times \left(6-4\right)-8$

$=18-2-8$

$=8$；

②点$M$在$x$轴下方，如图$4$.

过点$C$作$CN\bot PM$，得：四边形$CNPQ$是梯形，

$\because S_{\triangle }CMQ=S_{梯形CNPQ}+S_{\triangle PQM}-S_{\triangle CNM}$，

$\therefore S_{\triangle }CMQ=\dfrac{1}{2}\left(CN+PQ\right)\cdot PN+\dfrac{1}{2}\cdot PQ\cdot PM-\dfrac{1}{2}\cdot MN\cdot CN$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(OP+PQ\right)\times OC+\dfrac{1}{2}\times 4\times 4-\dfrac{1}{2}\cdot \left(OC+PM\right)\cdot OP$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(2+4\right)\times 6+8-\dfrac{1}{2}\times \left(6+4\right)\times 2$

$=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6+8-\dfrac{1}{2}\times 10\times 2$

$=18+8-10$

$=16$.

$\therefore$三角形$CMQ$的面积为：$8$或$16$.

$\left(1\right)\because$点$A$在$x$轴负半轴上，点$B$、$C$分别在$x$轴、$y$轴正半轴上，$OB=2OA$，$OB-OC=OC-OA=2$.

设$A\left(x,0\right)$，

$\therefore OA=-x$，$OB=-2x$，$OC=-2x-2$，

$\therefore B\left(-2x,0\right)$，$C\left(0,-2x-2\right)$，

$\because OC-OA=2$，

$\therefore -2x-2-\left(-x\right)=2$，

解得：$x=-4$，

$\therefore OA=4$，$OB=8$，$OC=6$，点$A$的坐标为$\left(-4,0\right)$，点$B$的坐标为$\left(8,0\right)$，点$C$的坐标为$\left(0,6\right)$；

（2）由（1）知：$AB=OA+OB=12$，

$\because$点$P$从点$A$出发以每秒$1$个单位的速度沿$AB$向点$B$匀速运动，同时点$Q$从点$B$出发以每秒$3$个单位的速度沿$BA$向终点$A$匀速运动，

$\therefore$点$P$运动的时间为$t\left(t \gt 0\right)$秒时，$AP=t$，$BQ=3t$，

当$P$、$Q$两点相遇时的$t$的值为：$12\div \left(1+3\right)=3$秒，

$\because$当点$Q$到达终点$A$时，点$P$、$Q$均停止运动，

$\therefore t$的最大值为$12\div 3=4$秒

①当$0 \lt t\leqslant 3$时，如图$1$，

$PQ=AB-AP-QB=12-t-3t=12-4t$，

即$y=12-4t\left(0 \lt t\leqslant 3\right)$；

②当$3 \lt t\leqslant 4$时，如图$2$，

$PQ=AP+BQ-AB=4t-12$，

即$y=4t-12\left(3 \lt t\leqslant 4\right)$；

（3）存在$t$值使点$O$为$PQ$中点，

$\because$点$O$为$PQ$中点，

$\therefore 0 \lt t\leqslant 3$，$OP=OQ$，即$OA-AP=OB-BQ$，

$\therefore 4-t=8-3t$，

解得：$t=2$，

当$t=2$时，$AP=2$，$OP=2$，$OQ=2$，$PQ=4$，$PM=PQ=4$，

①点$M$在$x$轴上方时，如图$3$，

过点$C$作$CN\bot PM$，得：四边形$CNPQ$是梯形，

$\because S_{\triangle }CMQ=S_{梯形CNPQ}-S_{\triangle CNM}-S_{\triangle PQM}$，

$\therefore S_{\triangle }CMQ=\dfrac{1}{2}\left(CN+PQ\right)\times PN-\dfrac{1}{2}CN\cdot MN-\dfrac{1}{2}\cdot PM\cdot PQ$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(OP+PQ\right)\times OC-\dfrac{1}{2}\times OP\times \left(OC-PM\right)-\dfrac{1}{2}\times 4\times 4$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(2+4\right)\times 6-\dfrac{1}{2}\times 2\times \left(6-4\right)-8$

$=18-2-8$

$=8$；

②点$M$在$x$轴下方，如图$4$.

过点$C$作$CN\bot PM$，得：四边形$CNPQ$是梯形，

$\because S_{\triangle }CMQ=S_{梯形CNPQ}+S_{\triangle PQM}-S_{\triangle CNM}$，

$\therefore S_{\triangle }CMQ=\dfrac{1}{2}\left(CN+PQ\right)\cdot PN+\dfrac{1}{2}\cdot PQ\cdot PM-\dfrac{1}{2}\cdot MN\cdot CN$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(OP+PQ\right)\times OC+\dfrac{1}{2}\times 4\times 4-\dfrac{1}{2}\cdot \left(OC+PM\right)\cdot OP$

$=\dfrac{1}{2}\times \left(2+4\right)\times 6+8-\dfrac{1}{2}\times \left(6+4\right)\times 2$

$=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6+8-\dfrac{1}{2}\times 10\times 2$

$=18+8-10$

$=16$.

$\therefore$三角形$CMQ$的面积为：$8$或$16$.