如图,在平面直角坐标系内,点$O$为坐标原点,点$A$在$x$轴负半轴上,点$B$、$C$分别在$x$轴、$y$轴正半轴上,且$OB=2OA$,$OB-OC=OC-OA=2$.

（1）求点$C$的坐标；

（2）点$P$从点$A$出发以每秒$1$个单位的速度沿$AB$向点$B$匀速运动,同时点$Q$从点$B$出发以每秒$3$个单位的速度沿$BA$向终点$A$匀速运动,当点$Q$到达终点$A$时,点$P$、$Q$均停止运动,设点$P$运动的时间为$t\left(t \gt 0\right)$秒,线段$PQ$的长度为$y$,用含$t$的式子表示$y$,并写出相应的$t$的范围；

（3）在（2）的条件下,过点$P$作$x$轴的垂线$PM$,$PM=PQ$,是否存在$t$值使点$O$为$PQ$中点?若存在求$t$值并求出此时三角形$CMQ$的面积；若不存在,请说明理由.